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| Aufgabe | Berechnen Sie die Oberfläche eines Parabolspiegels, der durch die Funktion
[mm] z=f(x,y)=\bruch{1}{2}(x^2+y^2)
[/mm]
gegeben ist, wobei -R [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] R und [mm] -\wurzel{R^2-x^2} \le [/mm] y [mm] \le \wurzel{R^2-x^2} [/mm] gelten. |
Hallo leute,
bei dieser aufgabe muss mal ja erstmal den r-Vektor aufstellen und den nach phi und r ableiten und aus den beiden ein Kreuzprodukt bilden.
Nun ist meine frage wie das R aussieht? Das hatte ich mir überlegt: [mm] \vec{r} [/mm] =
[mm] \pmat{ r*cos phi \\ r* sin phi \\ \bruch{1}{2}r^2} [/mm] ist das so richtig?
Danke schon mal für die Hilfe
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> Berechnen Sie die Oberfläche eines Parabolspiegels, der
> durch die Funktion
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> [mm]z=f(x,y)=\bruch{1}{2}(x^2+y^2)[/mm]
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> gegeben ist, wobei -R [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] R und
> [mm]-\wurzel{R^2-x^2} \le\ y\ \le \wurzel{R^2-x^2}[/mm] gelten.
> Hallo leute,
>
> bei dieser aufgabe muss mal ja erstmal den r-Vektor
> aufstellen und den nach phi und r ableiten und aus den
> beiden ein Kreuzprodukt bilden.
> Nun ist meine frage wie das R aussieht? Das hatte ich mir
> überlegt:
> [mm]\vec{r}\ =\ \pmat{ r*cos\,\varphi \\ r* sin\,\varphi \\ \bruch{1}{2}r^2}\qquad\red{\checkmark}[/mm]
> ist das so richtig?
Ja.
> Danke schon mal für die Hilfe
Hallo,
es fragt sich, ob die Darstellung in Zylinderkoordinaten
überhaupt nötig und sinnvoll ist. Ich würde eher versuchen,
das Ganze mittels eines einfachen Integrals über die Variable
z zu lösen. Um die Paraboloidkappe zu beschreiben, kann
man ja einfach ein Bogenstück der in der z-x-Ebene liegenden
Halbparabel mit der Gleichung [mm] x=\sqrt{2\,z} [/mm] um die z-Achse rotieren
lassen.
Möglicherweise wird die Rechnung via Zylinderkoordinaten
aber am Ende trotzdem einfacher.
LG Al-Chw.
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Aber muss man nicht das Oberflächen integral nach der funktion setzen und diese funktion integrieren? In der Musterlösung hat er [mm] vec_{r} [/mm] nach phi und r abgelitten und das produkt nach dr und dphi integriert.
| [mm] \vec_{r}_{phi} [/mm] x [mm] \vec_{r}_{r} [/mm] | = | [mm] \vektor{-r*sin phi \\ r*cos phi \\ 0} [/mm] x [mm] \vektor{cos phi \\ sin phi \\ r} [/mm] | =| [mm] \vektor{r^2 cos phi \\ r^2 sin phi \\ -r} [/mm] | = [mm] r*\wurzel{r^2+1}
[/mm]
und dann hat er [mm] \integral_{}^{} \integral_{}^{} [/mm] dO= [mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{R} r*\wurzel{r^2+1} [/mm] und danach mit substitution das integral gelöst.
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> Aber muss man nicht das Oberflächen integral nach der
> funktion setzen und diese funktion integrieren? In der
> Musterlösung hat er [mm]\vec{r}[/mm] nach phi und r abgelitten ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
abgelitten ? oh, der Arme !
du meinst wohl "abgeleitet"
> und das produkt nach dr und [mm] d\varphi [/mm] integriert.
>
> [mm]\left|\vec{r}_{\varphi}\ \times\ \vec{r}_{r}\right|\ =\ \left| \vektor{-r*sin\, \varphi \\ r*cos\, \varphi \\ 0}
\ \times\ \vektor{cos\,\varphi \\ sin\,\varphi \\ r}\right|\ =\ \left|\vektor{r^2 cos\,\varphi \\ r^2 sin\,\varphi \\ -r}
\right|\ =\ r*\wurzel{r^2+1}[/mm]
>
> und dann hat er [mm]\integral_{}^{} \integral_{}^{}[/mm] dO=
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{R} r*\wurzel{r^2+1}[/mm]
> und danach mit substitution das integral gelöst.
Das sollte richtig kommen.
LG Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:52 Mo 19.09.2011 | | Autor: | EtechProblem |
| Aufgabe | Berechnen Sie das Oberflächenintegral
[mm] \integral_{}^{} \integral_{S}^{} \wurzel{\bruch{x^2}{a^4}+\bruch{y^2}{b^4}+ \bruch{z^2}{c^4}} [/mm] dS
welches über die Oberfl¨ache S des Ellipsoids [mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}+ \bruch{z^2}{c^2}=1
[/mm]
Hinweis: Benutzen Sie die Koordinaten x=a*sin phi cos teta, y=b*sin phi cos teta, z=c*cos phi (0 [mm] \le [/mm] phi, teta [mm] \le 2\pi [/mm] |
Diese aufgabe ist so ähnlich wie Aufgabe 2. Hier muss man auch [mm] \vec_{r} [/mm] berechnen, das nach phi und teta ableiten und den Betrag aus dem Kreuzprodukt berechnen.
Aber dann setzt er [mm] \vec_{r}_{phi} [/mm] x [mm] \vec_{r}_{teta} [/mm] dphi+dteta einfach für dS ein und integriert. Was ich nicht verstehe ist wieso das so ist.
Ich meine in beiden aufgaben wird nach der Oberfläche gefragt, in beiden aufgaben rechnet man [mm] \vec_{r} [/mm] nur in Aufgabe 1 setzt man das [mm] \vec_{r} [/mm] noch in das Oberflächenintegral ein.
Was ist der unterschied? Und worauf muss ich bei solchen aufgaben achten? Ich hätte jzt z.b das selbe gemacht wie bei 2
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1.) in dieser neuen Aufgabe wird nicht nach der Oberfläche gefragt !
2.) neue Aufgabe ----> neuer Thread !
LG Al-Chw.
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