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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Oberfläche des Zylinders: [mm] x^{2}+y^{2}=4 [/mm] zwischen den Ebenen z = 0 und z = 16 - 2x |
Ja ich habe so meine Probleme bei der parametrisierung. Kann mir jemand sagen wie ich den Zylinder parametrisieren soll?
Ich habe mir mal gedacht ich parametrisiere die Grundfläche durch einen Parameter, nämlich u, dann ist ja x = 2cos(u) und y = 2sin(u). Aber was mache ich mit dem 2. Parameter?
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> Bestimmen Sie die Oberfläche des Zylinders: [mm]x^{2}+y^{2}=4[/mm]
> zwischen den Ebenen z = 0 und z = 16 - 2x
>
> Ja ich habe so meine Probleme bei der parametrisierung.
> Kann mir jemand sagen wie ich den Zylinder parametrisieren
> soll?
>
> Ich habe mir mal gedacht ich parametrisiere die
> Grundfläche durch einen Parameter, nämlich u, dann ist ja
> x = 2cos(u) und y = 2sin(u). Aber was mache ich mit dem 2.
> Parameter?
Hallo Marius,
die Grundfläche zu parametrisieren, scheint mir fast
etwas zu viel des Guten. Diese ist ja ein Kreis, dessen
Flächeninhalt man einfach mal hinschreiben kann.
Für die Deckfläche würde ich eigentlich auch kein
Integral aufschreiben, da es sich um eine Ellipse handelt,
welche zum Grundkreis in einer einfachen affinen Be-
ziehung mit dem Flächenverhältnis
[mm] $\frac{\mathrm{Grundfl\ddot ache}}{\mathrm{Deckfl\ddot ache}}\ [/mm] =\ [mm] cos(\mathrm{\,Neigungswinkel\,})$
[/mm]
steht.
Bliebe noch die Mantelfläche. Auch diese könnte man
durch eine einfache Betrachtung ohne Integral bestimmen.
Sie ist nämlich gleich groß wie die Mantelfläche eines
Zylinders mit gleichem Radius, parallelen Grund- und
Deckflächen und der gleichen mittleren Höhe ...
Du kannst ja aber wenigstens hier mal deine Künste
im Integrieren üben. Als zweiten Parameter brauchst
du nebst dem Winkel u dann einfach die z-Koordinate,
die jeweils von 0 bis z(x(u),y(u)) (gemäß Ebenengleichung)
laufen muss.
Eventuell war ja wirklich nur die Mantelfläche gemeint,
nicht die "Oberfläche" eines 3D-Zylinders.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Marius6d |
Vielen Dank für deine Antwort. Ja es ist nur die Mantelfläche gemeint! Ja ohne Integral habe ich es sofort ausgerechnet, ist ja einfach. Integrieren ist auch kein Problem, egal ob Kurven, Linienintegral, Green, Gauss, Stokes etc. Aber beim parametrisieren habe ich eben immer so meine Probleme, und ich denke gerade der Sinn dieser Aufgabe ist dieses zu üben! Ich werde dann mal nach deinem Vorschlag weiter machen! Sonst frage ich wieder!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Marius6d |
Hm also irgendwie komme ich nicht weiter:
Ich habe jetzt folgendes aufgestellt:
Parameter:
0 [mm] \le [/mm] u [mm] \le 2\pi [/mm] und 0 [mm] \le [/mm] v [mm] \le [/mm] 16-4cos(u)
r(u,v) = [mm] \vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ v}
[/mm]
dann noch: ru [mm] \times [/mm] rv = r(u,v) = [mm] \vektor{-2sin(u) \\ 2cos(u) \\ 0} \times \vektor{0) \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ 0}. [/mm] Dann das Integral
[mm] \integral_{0}^{2pi}_{0}^{16-4cos(u)}{ \vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ v} *\vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ 0} dvdu} [/mm] Dann das ganze wie folgt:
da [mm] \vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ v} *\vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ 0} [/mm] = 4:
[mm] \integral_{0}^{2pi}{64-16cos(u) du}
[/mm]
dann : --> [64u-sin(u)] --> 128pi Aber das kann ja nicht stimmen! Was habe ich falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Fr 06.05.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Es ist eher lange her das ich das das letzte mal gemacht habe.
Aber nach dem durchsehen würde ich meinen:
Du behandelst r(u,v) wie ein Fluss, da du das Skalarprodukt <r(u,v),rv x ru> bildest. Du willst ja aber nur die Oberfläche und keinen Fluss durch eine Oberfläche...
Eigentlich müsstest du einfach über den Betrag |rv x ru| integrieren, da das ja derBetrag des infinitesimalen Flächenelements dA ist.
Gruss
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> Hm also irgendwie komme ich nicht weiter:
>
> Ich habe jetzt folgendes aufgestellt:
>
> Parameter:
>
> 0 [mm]\le[/mm] u [mm]\le 2\pi[/mm] und 0 [mm]\le[/mm] v [mm]\le[/mm] 16-4cos(u)
>
> r(u,v) = [mm]\vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ v}[/mm]
>
> dann noch: ru [mm]\times[/mm] rv = r(u,v) = [mm]\vektor{-2sin(u) \\ 2cos(u) \\ 0} \times \vektor{0) \\ 0 \\ 1}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
was soll hier das r(u,v) ?
> = [mm]\vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ 0}.[/mm] Dann das Integral
>
> [mm]\integral_{0}^{2pi}_{0}^{16-4cos(u)}{ \vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ v} *\vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ 0} dvdu}[/mm]
was machst du hier ???
das Flächenelement wäre [mm] |ru\times{rv}| [/mm] du dv !
> Dann das ganze wie folgt:
>
> da [mm]\vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ v} *\vektor{2cos(u) \\ 2sin(u) \\ 0}[/mm]
> = 4:
>
>
> [mm]\integral_{0}^{2pi}{64-16cos(u) du}[/mm]
>
> dann : --> [64u-sin(u)] --> 128pi Aber das kann ja nicht
> stimmen! Was habe ich falsch gemacht?
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