Oberflächenintegral Halbkugel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo
Ich muss bei einer Aufgabe folgendes Problem lösen
Vom Vektorfeld [mm] u=\vektor{y \\ x-2xz\\-xy} [/mm] ist über die oberhalb der x-y Ebene gelegene Halbkugel D: [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] das Oberflächenintegral u dO zu ermitteln
Nun habe ich mir mal rot u ausgerechnet und das ist ja gleich = (0,0,0)
Dann wollte ich [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{rot u dO}=\integral_{0}^{\pi /2}{}\integral_{0}^{2\pi}{rot u dO} [/mm] und dann stehe ich irgendwie an weil ich ja kein rot u habe.
dO müsste doch sein [mm] \vektor{r sin\theta * cos \phi\\ r sin\theta * sin\phi\\r cos \theta}
[/mm]
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Hallo racy90,
> Hallo
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> Ich muss bei einer Aufgabe folgendes Problem lösen
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> Vom Vektorfeld [mm]u=\vektor{y \\ x-2xz\\-xy}[/mm] ist über die
> oberhalb der x-y Ebene gelegene Halbkugel D: [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm]
> das Oberflächenintegral u dO zu ermitteln
>
> Nun habe ich mir mal rot u ausgerechnet und das ist ja
> gleich = (0,0,0)
>
rot u ist doch vom Nullvektor verschieden.
> Dann wollte ich [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{D}^{}{rot u dO}=\integral_{0}^{\pi /2}{}\integral_{0}^{2\pi}{rot u dO}[/mm]
> und dann stehe ich irgendwie an weil ich ja kein rot u
> habe.
> dO müsste doch sein [mm]\vektor{r sin\theta * cos \phi\\ r sin\theta * sin\phi\\r cos \theta}[/mm]
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:28 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
wieso ?
rot u = [mm] \nabla \times [/mm] u
[mm] \nabla [/mm] = ( 0,0,0) weil die jeweilige Zeile nach x,y oder z abgeleitet 0 ergibt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Mo 04.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> wieso ?
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> rot u = [mm]\nabla \times[/mm] u
ja.
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> [mm]\nabla[/mm] = ( 0,0,0) weil die jeweilige Zeile nach x,y oder z
Der Nabla-Operator ist nicht der Nullvektor! Schau Dir nochmal an, wie der definiert ist und bilde dann das Kreuzprodukt mit u.
> abgeleitet 0 ergibt
>
Gruß,
notinX
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> wieso ?
>
> rot u = [mm]\nabla \times[/mm] u
>
> [mm]\nabla[/mm] = ( 0,0,0) weil die jeweilige Zeile nach x,y oder z
> abgeleitet 0 ergibt
Daraus könntest du schließen, dass die Divergenz des
Feldes u gleich null (skalare Null) ist.
Was du hier brauchst, ist aber die Rotation. Schau dir die
Definition der Rotation genau an !
Um die Schreibweise rot u = [mm]\nabla \times[/mm] u
zu verstehen, müsstest du dir auch über die Bedeutung
der Kreuzmultiplikation ("Vektorprodukt") Klarheit schaffen.
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Aber [mm] \nabla [/mm] = [mm] \vektor{\partial/\partial x\\ \partial/\partial y\\\partial/ \partial z}
[/mm]
und wenn ich zb die erste Zeile meines Vektorfeldes hernehme y und das nach [mm] \partial/\partial [/mm] x =0 also ist die erste Zeile Meines Nablaoperators 0 oder muss ich noch die anderen 2 Zeilen auch nach x ableiten??
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> Aber [mm]\nabla[/mm] = [mm]\vektor{\partial/\partial x\\ \partial/\partial y\\\partial/ \partial z}[/mm]
>
> und wenn ich zb die erste Zeile meines Vektorfeldes
> hernehme y und das nach [mm]\partial/\partial[/mm] x =0 also ist die
> erste Zeile Meines Nablaoperators 0 oder muss ich noch die
> anderen 2 Zeilen auch nach x ableiten??
Nein, du musst eben die genaue Definition von Rotation
und/oder vektoriellem Produkt einsetzen !
[mm] $\nabla\ \times\ \pmat{v_x\\v_y\\v_z}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{\partial/\partial x\\ \partial/\partial y\\\partial/ \partial z}\ \times\ \pmat{v_x\\v_y\\v_z}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{\frac{\partial v_z}{\partial y}-\frac{\partial v_y}{\partial z}\\ ....... \\.......}$
[/mm]
siehe: ![[]](/images/popup.gif) Rotation
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Mo 04.06.2012 | | Autor: | racy90 |
ja aber was ist dann zb in meinen Fall [mm] \partial [/mm] / [mm] \partial [/mm] x ?
Was von meinen Vektorfeld leite ich nach x ab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mo 04.06.2012 | | Autor: | notinX |
> ja aber was ist dann zb in meinen Fall [mm]\partial[/mm] / [mm]\partial[/mm]
> x ?
Das ist (nicht nur in Deinem Fall) der Operator der die partielle Ableitung nach x kennzeichnet.
>
> Was von meinen Vektorfeld leite ich nach x ab?
Hast Du Dir durchgelesen, was Al-Chwarizmi geschrieben hat? Da steht es doch für die x-Komponente ganz genau:
Die z-Komponente des Vektorfeldes ist nach y abzuleiten und davon ist die y-Komponente nach z abgeleitet zu subtrahieren.
Als Hinweis: Das Ergebnis ist ungleich 0
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:41 Di 05.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Okay ich glaub jetzt habe ich es verstanden
als rot u komme ich jetz auf [mm] \vektor{-3x \\ y\\-2z}
[/mm]
nun hätte ich ja mein Integral [mm] \integral_{0}^{\pi /2}{}\integral_{0}^{2\pi} \vektor{-3x \\ y\\-2z}*\vektor{r sin\theta \cdot{} cos \phi\\ r sin\theta \cdot{} sin\phi\\r cos \theta}
[/mm]
Mulitpliziere ich nun die Vektoren und dann integriere ich oder fehlt noch etwas?
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> Okay ich glaub jetzt habe ich es verstanden
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> als rot u komme ich jetz auf [mm]\vektor{-3x \\ y\\-2z}[/mm]
ich erhalte in der ersten Komponente nicht -3x , sondern x
> nun hätte ich ja mein Integral [mm]\integral_{0}^{\pi /2}{}\integral_{0}^{2\pi} \vektor{-3x \\ y\\-2z}*\vektor{r sin\theta \cdot{} cos \phi\\ r sin\theta \cdot{} sin\phi\\r cos \theta}[/mm]
>
> Mulitpliziere ich nun die Vektoren und dann integriere ich
> oder fehlt noch etwas?
Halt ! Was soll denn überhaupt berechnet werden, und
weshalb wolltest du die Rotation berechnen ?
Die Aufgabe lautete:
> Vom Vektorfeld $ [mm] u=\vektor{y \\ x-2xz\\-xy} [/mm] $ ist über die
> oberhalb der x-y Ebene gelegene Halbkugel D: $ [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] $
> das Oberflächenintegral u dO zu ermitteln.
Wenn du ein Flächenintegral über D berechnen willst, wäre es
einfach das Integral der gegebenen vektoriellen Funktion.
Es sieht aber so aus, dass du einen Integralsatz anwenden
willst - welchen denn genau ? Und in welcher Weise könnte
man einen solchen Satz allenfalls für die vorliegende Aufgabe
einsetzen ?
LG Al-Chw.
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