Oberflächenintegral Ellipsoid < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 05.07.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Gegeben ist das Ellipsoid
E : [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] \bruch{z^{2}}{4} [/mm] = 1
mit der Oberfäche
[mm] \integral_{E}^{}{1 dS}
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] 4\pi \le [/mm] F [mm] \le 8\pi [/mm] gilt. |
So meine Idee ist nun, den Ellipsoid in Polarkoordinaten umschreiben. Diese Darstellung nenn ich jetzt mal [mm] \gamma.
[/mm]
Dann kann ich ja mit dem Integral [mm] \integral_{E}^{}{\parallel \bruch{\partial \gamma}{\partial u} \times \bruch{\partial \gamma}{\partial v} \parallel d(u,v)} [/mm] die Oberfläche bestimmen, oder?
Nur schaff ich keine geeignete Umschreibung, um [mm] \bruch{\partial \gamma}{\partial u} \times \bruch{\partial \gamma}{\partial v} [/mm] zu bestimmen.
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Hallo engels,
> Gegeben ist das Ellipsoid
> E : [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + [mm]\bruch{z^{2}}{4}[/mm] = 1
> mit der Oberfäche
> [mm]\integral_{E}^{}{1 dS}[/mm]
>
>
> Zeigen Sie, dass [mm]4\pi \le[/mm] F [mm]\le 8\pi[/mm] gilt.
> So meine Idee ist nun, den Ellipsoid in Polarkoordinaten
> umschreiben. Diese Darstellung nenn ich jetzt mal [mm]\gamma.[/mm]
>
> Dann kann ich ja mit dem Integral
> [mm]\integral_{E}^{}{\parallel \bruch{\partial \gamma}{\partial u} \times \bruch{\partial \gamma}{\partial v} \parallel d(u,v)}[/mm]
> die Oberfläche bestimmen, oder?
Ja.
>
> Nur schaff ich keine geeignete Umschreibung, um
> [mm]\bruch{\partial \gamma}{\partial u} \times \bruch{\partial \gamma}{\partial v}[/mm]
> zu bestimmen.
Schreibe die Gleichung zunächst so:
[mm]\left( \ x^{2} + y^{2} \ \right) + \bruch{z^{2}}{4} = 1[/mm]
Dazu fällt Dir bestimmt etwas ein.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:45 Mi 06.07.2011 | | Autor: | engels |
Das sieht für mich schonmal nach dem (Einheits-)Kreis aus. Daher würde x=cos [mm] \alpha, [/mm] y=sin [mm] \alpha [/mm] und [mm] z=\bruch{1}{4}cos \gamma [/mm] setzten.
So würde ich auf den Vektor [mm] \vektor{cos \alpha \\ sin \alpha \\ \bruch{1}{4} cos \gamma} [/mm] kommen.
Dann aus den partiellen Ableitungen das Kreuzprodukt und dessen Betrag integrieren.
Ist das richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 Mi 06.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das sieht für mich schonmal nach dem (Einheits-)Kreis aus.
> Daher würde x=cos [mm]\alpha,[/mm] y=sin [mm]\alpha[/mm] und
> [mm]z=\bruch{1}{4}cos \gamma[/mm] setzten.
Nein, so wird das nichts. Orientiere Dich an Kugelkoordinaten !
FRED
>
> So würde ich auf den Vektor [mm]\vektor{cos \alpha \\ sin \alpha \\ \bruch{1}{4} cos \gamma}[/mm]
> kommen.
>
> Dann aus den partiellen Ableitungen das Kreuzprodukt und
> dessen Betrag integrieren.
>
> Ist das richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Mi 06.07.2011 | | Autor: | engels |
Oke, ich hab mir nochmal die Kugelkoordinaten angesehen. Würde jetzt es jetzt so machen:
$ [mm] \vektor{sin \gamma cos \alpha \\ sin \gamma sin \alpha \\ \bruch{1}{4} cos \gamma} [/mm] $
Nur welche Grenzen setze ich an? [mm] \gamma \in [-\pi,\pi] [/mm] und [mm] \aplha \in [\bruch{-\pi}{2},\bruch{\pi}{2}]?
[/mm]
Für den Betrag des Kreuzprodukt erhalte ich:
[mm] \parallel \bruch{\partial \gamma}{\partial u} \times \bruch{\partial \gamma}{\partial v} \parallel [/mm] = sin [mm] \gamma
[/mm]
Das müsste ich doch jetzt nun über die entsprechenden Grenzen nach [mm] \partial \gamma \partial \alpha [/mm] integrieren oder?
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Hallo!
> Oke, ich hab mir nochmal die Kugelkoordinaten angesehen.
> Würde jetzt es jetzt so machen:
>
> [mm]\vektor{sin \gamma cos \alpha \\ sin \gamma sin \alpha \\ \bruch{1}{4} cos \gamma}[/mm]
> Nur welche Grenzen setze ich an? [mm]\gamma \in [-\pi,\pi][/mm] und
> [mm]\aplha \in [\bruch{-\pi}{2},\bruch{\pi}{2}]?[/mm]
Für den Polarwinkel [mm] \theta [/mm] (in deinem Fall also [mm] \gamma) [/mm] gilt: [mm] \theta\in[0,\pi]
[/mm]
Für den Azimutwinkel [mm] \varphi [/mm] (in deinem Fall also [mm] \alpha) [/mm] gilt: [mm] \varphi\in[0,2\pi)
[/mm]
> Für den Betrag des Kreuzprodukt erhalte ich:
> [mm]\parallel \bruch{\partial \gamma}{\partial u} \times \bruch{\partial \gamma}{\partial v} \parallel[/mm]
> = sin [mm]\gamma[/mm]
Für die Funktionaldeterminante eines Ellipsoids ergibt sich
[mm] a*b*c*r^{2}sin(\theta), [/mm] wobei sich für deinen Fall der Oberflächenbetrachtung r=1 ergibt. a,b und c bilden dabei "Verzerrungskoeffizienten" einer Kugel, die in der Parametrisierung enthalten sind.
> Das müsste ich doch jetzt nun über die entsprechenden
> Grenzen nach [mm]\partial \gamma \partial \alpha[/mm] integrieren
> oder?
Genau.
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mo 11.07.2011 | | Autor: | engels |
Mein Prof hat nun eine Lösung hochgeladen. Vorgehen war gleich nur er hatte andere Kugelkoordianten, nämlich [mm] \vektor{sin \gamma cos \alpha \\ sin \gamma sin \alpha \\ 2 *
cos \gamma} [/mm]
Woher kommt die 2 und wieso steht da nicht [mm] \bruch{1}{4}? [/mm] Kann mir das einer erklären? Danke.
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> Mein Prof hat nun eine Lösung hochgeladen. Vorgehen war
> gleich nur er hatte andere Kugelkoordianten, nämlich
> [mm]\vektor{sin \gamma cos \alpha \\ sin \gamma sin \alpha \\ 2 *
cos \gamma}[/mm]
>
> Woher kommt die 2 und wieso steht da nicht [mm]\bruch{1}{4}?[/mm]
> Kann mir das einer erklären? Danke.
Das sind natürlich keine "Kugelkoordinaten" mehr,
sondern "Ellipsoidkoordinaten", die genau dem
vorliegenden Ellipsoid angepasst sind.
Das Ellipsoid mit der Gleichung
[mm] \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2}+ \frac{z^2}{c^2}=1
[/mm]
hat die Halbachsen (Hauptradien) a, b, c . Im vorliegenden
Beispiel a=b=1, c=2.
LG Al-Chw.
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> Gegeben ist das Ellipsoid
> E : [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] + [mm]\bruch{z^{2}}{4}[/mm] = 1
> mit der Oberfäche
> [mm]\integral_{E}^{}{1 dS}[/mm]
>
>
> Zeigen Sie, dass [mm]4\pi \le[/mm] F [mm]\le 8\pi[/mm] gilt.
> So meine Idee ist nun, den Ellipsoid in Polarkoordinaten
> umschreiben. Diese Darstellung nenn ich jetzt mal [mm]\gamma.[/mm]
>
> Dann kann ich ja mit dem Integral
> [mm]\integral_{E}^{}{\parallel \bruch{\partial \gamma}{\partial u} \times \bruch{\partial \gamma}{\partial v} \parallel d(u,v)}[/mm]
> die Oberfläche bestimmen, oder?
>
> Nur schaff ich keine geeignete Umschreibung, um
> [mm]\bruch{\partial \gamma}{\partial u} \times \bruch{\partial \gamma}{\partial v}[/mm]
> zu bestimmen.
Hallo engels,
ich denke, dass man die Aufgabe lösen kann, ohne das
Oberflächenintegral wirklich auszurechnen, ja sogar ohne
es überhaupt aufzustellen.
Ich würde das direkt geometrisch anpacken. E ist ein
Ellipsoid mit den Halbachsen a=b=1 und c=2. Es entsteht
also aus der Einheitssphäre S durch Streckung mit dem
Faktor 2 in einer Richtung (z-Richtung).
S hat die Oberfläche [mm] 4*\pi [/mm] . Zu zeigen ist also:
$\ [mm] O_S\le\ O_E\ \le\ 2*O_S$ [/mm]
Dass die Oberfläche von E größer als die von S ist, ist
anschaulich sofort klar, und man kann dafür auch leicht
geometrische Argumente anbringen.
Für die zweite Ungleichung ist zu zeigen: Wenn man
die Sphäre S in z-Richtung mit dem Faktor 2 streckt,
dann wächst die Oberfläche höchstens mit dem Faktor 2.
Dazu macht es schon Sinn, sich die Transformation von
Oberflächenelementen an kleinen (schließlich infinitesimalen)
Flächenstücken anzusehen. Nennen wir den Schnittkreis
von E mit der x-y-Ebene den "Äquator". Ein schmaler
"Gürtel" um diesen Äquator wird bei der Streckung der
Fläche nach praktisch (fast) verdoppelt. Faktor 2 für
die Flächendehnung gilt aber exakt nur exakt am Äquator.
Je weiter man sich vom Äquator weg, den "Polen" entgegen
bewegt, um so kleiner wird dieser Flächendehnungsfaktor,
bis er an den beiden Polen den Wert 1 erreicht.
Aus diesen Überlegungen (die man natürlich noch mit
Formeln unterlegen könnte) folgt auch die zweite Ungleichung.
LG Al-Chw.
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