Oberflächenintegral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Hallo,
Ich soll folgende Aufgabe auf 2 verschiedene Methoden lösen.
Das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit ist gegeben durch [mm] v=\vektor{-xy \\ x^2+y^2\\-zy}.
[/mm]
Ich soll nun den Durchsatz pro Zeiteinheit durch den aus Mantel sowie der Grund und Deckkreisscheibe bestehenden Rand S des Zylinders Z={(,x,y,z) [mm] \n R^3 x^2+y^2 \le [/mm] 1,0 [mm] \e [/mm] z [mm] \le [/mm] 1}
Zuerst das Oberflächenintegral [mm] \integral_{}^{}{}\integral_{S}^{}{v dO} [/mm] direkt und danach mittels Satz von Gauss
Für die erste Variante wollte ich mal rot v berechnen,ist das richtig oder geht das anders?
rot v wäre bei mir dann [mm] :\vektor{-z \\ 0\\3x}
[/mm]
Für den Teil mit dem Satz von Gauss würde ich mir zuerst die div v berechnen =0 wäre und wie würde es dann weitergehen
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Hallo racy90,
> Hallo,
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> Ich soll folgende Aufgabe auf 2 verschiedene Methoden
> lösen.
>
> Das Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit ist gegeben
> durch [mm]v=\vektor{-xy \\ x^2+y^2\\-zy}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Ich soll nun den Durchsatz pro Zeiteinheit durch den aus
> Mantel sowie der Grund und Deckkreisscheibe bestehenden
> Rand S des Zylinders Z={(,x,y,z) [mm]\n R^3 x^2+y^2 \le[/mm] 1,0
> [mm]\e[/mm] z [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}
>
> Zuerst das Oberflächenintegral
> [mm]\integral_{}^{}{}\integral_{S}^{}{v dO}[/mm] direkt und danach
> mittels Satz von Gauss
>
> Für die erste Variante wollte ich mal rot v berechnen,ist
> das richtig oder geht das anders?
>
> rot v wäre bei mir dann [mm]:\vektor{-z \\ 0\\3x}[/mm]
>
Das ist richtig.
> Für den Teil mit dem Satz von Gauss würde ich mir zuerst
> die div v berechnen =0 wäre und wie würde es dann
> weitergehen
Dann ist das Ergebnis ebenfalls 0.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Wie gehe ich dann in beiden Fällen weiter vor ?
Es soll ja bei beiden dasselbe rauskommen
Danke schon mal im voraus!
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Hallo racy90,
> Wie gehe ich dann in beiden Fällen weiter vor ?
>
Der Fall mit der Divergenz ist erledigt, da div v =0.
Bleibt der Fall mit der Rotation.
Hier musst Du zunächst Deckel, Mantel und Boden parametrisieren,
den Normalenvektor bilden und das entstehende Integral berechnen.
> Es soll ja bei beiden dasselbe rauskommen
>
> Danke schon mal im voraus!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Naja wenn ich den Zylinder parametrisiere komme ich auf das:
[mm] \vektor{r cos \phi \\ r sin \phi \\h} [/mm] 0 [mm] \le \phi \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] und 0 [mm] \le h\le [/mm] 1
Aber wie bekomme ich den Normalvektor?
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Hallo racy90,
> Naja wenn ich den Zylinder parametrisiere komme ich auf
> das:
>
> [mm]\vektor{r cos \phi \\ r sin \phi \\h}[/mm] 0 [mm]\le \phi \le[/mm] 2 [mm]\pi[/mm]
> und 0 [mm]\le h\le[/mm] 1
>
Beim Mantel ist r=1.
> Aber wie bekomme ich den Normalvektor?
Der Normalenvektor für den Mantel ergibt sich aus dem Vektorprodukt
der Ableitungen nach [mm]\phi[/mm] und h.
Für den Deckel bzw. Boden analog.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
[mm] \vektor{cos \phi \\ sin \phi \\h} [/mm] d [mm] \phi =\vektor{-sin \phi \\ cos \phi \\0} [/mm]
[mm] \vektor{cos \phi \\ sin \phi \\h} [/mm] dh [mm] =\vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm]
[mm] \vektor{-sin \phi \\ cos \phi \\0} \times \vektor{0 \\ 0 \\1} [/mm] =cos [mm] \phi [/mm] + sin [mm] \phi [/mm]
Deckfläche [mm] :\vektor{cos \phi \\ sin \phi \\h} [/mm] 0 [mm] \le \phi \le 2\pi [/mm] und h=1
Boden: [mm] \vektor{cos \phi \\ sin \phi \\h} [/mm] 0 [mm] \le \phi \le 2\pi [/mm] und h=0
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Hallo racy90,
> [mm]\vektor{cos \phi \\ sin \phi \\h}[/mm] d [mm]\phi =\vektor{-sin \phi \\ cos \phi \\0}[/mm]
> [mm]\vektor{cos \phi \\ sin \phi \\h}[/mm] dh [mm]=\vektor{0 \\ 0 \\1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{-sin \phi \\ cos \phi \\0} \times \vektor{0 \\ 0 \\1}[/mm]
> =cos [mm]\phi[/mm] + sin [mm]\phi[/mm]
>
Das Ergebnis des Vektorproduktes ist wieder ein Vektor, kein Skalar.
> Deckfläche [mm]:\vektor{cos \phi \\ sin \phi \\h}[/mm] 0 [mm]\le \phi \le 2\pi[/mm]
> und h=1
> Boden: [mm]\vektor{cos \phi \\ sin \phi \\h}[/mm] 0 [mm]\le \phi \le 2\pi[/mm]
> und h=0
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Sorry
Dann bekomme ich [mm] \vektor{cos \phi \\ sin \phi\\0}
[/mm]
Aber dadurch das sich Deckfläche und Bodenfläche nur durch Intervallsgrenze von h unterscheiden ist es abgeleitet nach d [mm] \hi [/mm] und dh dasgleiche oder meine Parametriesierung stimmt nicht
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Hallo racy90,
> Sorry
> Dann bekomme ich [mm]\vektor{cos \phi \\ sin \phi\\0}[/mm]
>
> Aber dadurch das sich Deckfläche und Bodenfläche nur
> durch Intervallsgrenze von h unterscheiden ist es
> abgeleitet nach d [mm]\hi[/mm] und dh dasgleiche oder meine
> Parametriesierung stimmt nicht
Den Normalenvektor von Deckel und Boden
kann man sich auch anschaulich klar machen.
Beachte, daß der Normalenvektor nach außen zeigen muss.
Deckel und Boden würde ich so paramertrisieren:
[mm]\vektor{r*cos \phi \\ r*sin \phi \\h}, \ 0 \le \phi \le 2\pi, \ 0 \le r \le 1[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Ich hätte gesagt die Normalvektoren für Boden und Deckel müssten dann sein [mm] \vektor{0 \\ 0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\ 0\\-1} [/mm]
Wenn ich aber [mm] \vektor{r\cdot{}cos \phi \\ r\cdot{}sin \phi \\h} [/mm] nach d [mm] \phi [/mm] und dh ableite und das Kreuzprodukt bilde komme ich auf [mm] \vektor{r cos \phi \\ r sin \phi \\0}
[/mm]
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Hallo racy90,
> Ich hätte gesagt die Normalvektoren für Boden und Deckel
> müssten dann sein [mm]\vektor{0 \\ 0\\1}[/mm] und [mm]\vektor{0\\ 0\\-1}[/mm]
>
Ja.
> Wenn ich aber [mm]\vektor{r\cdot{}cos \phi \\ r\cdot{}sin \phi \\h}[/mm]
> nach d [mm]\phi[/mm] und dh ableite und das Kreuzprodukt bilde komme
> ich auf [mm]\vektor{r cos \phi \\ r sin \phi \\0}[/mm]
Nein, Du bekommst als Normalenvektor
[mm]\pmat{0 \\ 0 \\ r}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Okay das bekomme ich auf wenn ich nach d [mm] \phi [/mm] und dr ableite und das Vektorprodukt bilde.
Nun habe ich meine 3 Normalvektoren mit [mm] \vektor{cos \phi \\ sin \phi \\0} ;\vektor{0 \\ 0\\r} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0\\r}
[/mm]
Aber wie integriere ich das nun?
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Hallo racy90,
> Okay das bekomme ich auf wenn ich nach d [mm]\phi[/mm] und dr
> ableite und das Vektorprodukt bilde.
>
> Nun habe ich meine 3 Normalvektoren mit [mm]\vektor{cos \phi \\ sin \phi \\0} ;\vektor{0 \\ 0\\r}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 0\\r}[/mm]
>
Beachte Orientierung.
Für den Deckel hast Du den Normalenvektor [mm]\vektor{0 \\ 0\\r}[/mm]
Für den Mantel hast Du den Normalenvektor [mm]\vektor{cos \phi \\ sin \phi \\0}[/mm]
Für den Boden hast Du den Normalenvektor [mm]\vektor{0 \\ 0\\ \red{-}r}[/mm]
> Aber wie integriere ich das nun?
Multipliziere das skalar mit der Rotation des Vektorfeldes v.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 So 10.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Welches Skalar?
Ich habe doch nur 3 Normalvektoren oder sehe ich es vor lauter Zahlen nicht mehr
Wenn ich Rotation mit dem Skalar multiplziert habe ,kann ich dann gleich nach dr und d [mm] \phi [/mm] integrieren und vorallem in welchen Grenzen?
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Hallo racy90,
> Welches Skalar?
>
> Ich habe doch nur 3 Normalvektoren oder sehe ich es vor
> lauter Zahlen nicht mehr
>
Es ist das Skalarprodukt aus Rotation und dem
entsprechenden Normalenvektor zu bilden.
> Wenn ich Rotation mit dem Skalar multiplziert habe ,kann
> ich dann gleich nach dr und d [mm]\phi[/mm] integrieren und vorallem
> in welchen Grenzen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:52 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
so habe nun die 3 Skalarmultiplikationen
1. -zcos [mm] \phi
[/mm]
2. 3xr
3. -3xr
Mein Problem ist jetzt nur ,ich weiß nicht so ganz nach was ich integrieren soll bzw in welchen Grenzen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:04 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Könnte mir noch jemand beim letzten Schritt helfen.Wäre wirklich sehr dankbar !
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Hallo racy90,
> so habe nun die 3 Skalarmultiplikationen
>
> 1. -zcos [mm]\phi[/mm]
Das ist wohl der Mantel. Hier wird nach z und [mm]\phi[/mm] integriert.
> 2. 3xr
> 3. -3xr
>
Deckel und Boden jweils nach r und [mm]\phi[/mm]
> Mein Problem ist jetzt nur ,ich weiß nicht so ganz nach
> was ich integrieren soll bzw in welchen Grenzen?
Diese ergeben sich aus der Parametrisierung.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
für den Mantel würde mein Integral so aussehen
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{2 \pi}{}{-zcos \phi d \phi dz}
[/mm]
für den Deckel
[mm] \integral_{0}^{2 \pi}\integral_{0}^{1}{}{3xr dr d\phi}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Mo 11.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie kommst du darauf für den Fluss durch die Oberfläche rotv zu nehmen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mo 11.06.2012 | | Autor: | racy90 |
Wieso sollte div nicht 0 sein??
Naja wir haben in der Übung ein ähnliches Bsp mit rot gerechnet aber leider nicht fertig deshalb bräuchte ich auch Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mo 11.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
rot v hat nichts mit dem fluss durch die Oberfläche zu tun, also vergiss es einfach.
du musst über [mm] \vec{v}*d\vec{A} [/mm] integrieren.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Di 12.06.2012 | | Autor: | racy90 |
okay also gut
wie komme ich nun wieder auf dA?
ich hätte für den Mantel gemeint : dA [mm] =rd\phi [/mm] dz
Wenn das nun richtig ist wie integriere ich nun:
So etwa: [mm] \integral_{0}^{1}{}\integral_{0}^{2 \pi}{}\integral_{0}^{1}{\vektor{-xy \\ x^2+y^2\\-zy} rd\phi dz}
[/mm]
Und wie bekomme ich dA für Deckel und Boden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Di 12.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte [mm] d\vec{A} [/mm] geschrieben, du nimmst |dA|
lies bitte Posts genau, dein Integral gäbe ja einen vektor.
Und rechne vor, wie du auf div v=0 kommst.
Gruss leduart
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:45 Mo 11.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
sorry, der post ist so richtig, aber div v ist nicht 0
gruss leduart
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