Oberflächenintegral < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gegeben sei ein Vektorfeld [mm] \underline{F}=(-y,yz^2,y^2z). [/mm] Berechnen Sie das Oberflächenintegral [mm] \int_{O}^{}(\underline{\nabla}\times\underline{F})d\underline{a} [/mm] über die Halbkugel über den Rand. |
Hallo zusammen,
Zunächst möchte ich ja eine Parametrisierung der (Halb)kugeloberfläche, für das Oberflächenintegral. Dazu wähle ich passenderweise Kugelkoordinaten,
also
[mm] r(R,\theta,\varphi)=R\vektor{\sin(\theta)\cos(\varphi) \\ \sin(\theta)\sin(\varphi) \\ \cos(\theta)}
[/mm]
Für das Oberflächenelement benötigt man ja das Kreuzprodukt [mm] \frac{\partial\underline{r}}{\partial\theta}\times\frac{\partial\underline{r}}{\partial\varphi}=R^2\sin(\theta)\vektor{\sin(\theta)\cos(\varphi) \\ \sin(\theta)\sin(\varphi) \\ \cos(\theta)}
[/mm]
und dann brauche ich ja auch die Rotation des Vektorfeldes [mm] \underline{F} [/mm] mit [mm] \underline{\nabla}\times\underline{F}=\vektor{\frac{\partial y^2z}{\partial y}-\frac{\partial yz^2}{\partial z} \\ \frac{\partial -y}{\partial z}-\frac{\partial y^2z}{\partial x} \\ \frac{\partial yz^2}{\partial x}-\frac{\partial -y}{\partial y}}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1},
[/mm]
also habe ich zu berechnen:
[mm] \int_{O}^{}\vektor{0 \\ 0 \\ 1}\cdot R^2\sin(\theta)\vektor{\sin(\theta)\cos(\varphi) \\ \sin(\theta)\sin(\varphi) \\ \cos(\theta)} d\varphi d\theta
[/mm]
...macht das bis hierhin Sinn?
So und jetzt kann ich dieses Skalarprodukt ja mal ausrechnen und erhalte nur etwas für die 3. Komponente, da 1.=2.=0, nämlich:
[mm] \int_{O}^{}R^2\sin(\theta)\cos(\theta)d\varphi d\theta [/mm] und mit den Integrationsgrenzen für die Halbkugel:
[mm] \int_0^{\pi}\int_0^{\pi/2}R^2\sin(\theta)\cos(\theta)d\varphi d\theta
[/mm]
So und jetzt habe ich ein Integral, völlig unabhängig von [mm] \varphi..
[/mm]
Falls es bis hierhin korrekt ist: wie mache ich jetzt genau weiter? Einfach nur über [mm] \theta [/mm] die Stammfunktion bilden und Werte einsetzen und [mm] \varphi [/mm] gewissermaßen „ignorieren“ weil es nicht mehr auftaucht?
Bin noch recht unsicher bei den Oberflächenintegralen und würde mich über Hilfe freuen!
Grüße
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Hallo!
Das sieht bisher alles bestens auch, auch wenn ich nun deine Ableitungen und so nicht nachgerechnet habe.
Zu dem Doppelintegral: Denk dran:
[mm] $\int c\,dx=c*\left[x\right]$ [/mm] mit c=const.
In deinem Fall ist [mm] c=c(\theta) [/mm] ,aber eben ne Konstante bezüglich [mm] \phi
[/mm]
Dein [mm] \phi [/mm] liefert dir also einen Faktor [mm] 2\pi [/mm] .
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Hallo,
danke für die Antwort, aber da ich mir auf dem Gebiet noch nicht so sicher bin, weiß ich noch nicht so recht, was ich jetzt genau machen muss,
ich habe:
[mm] \int_0^{\pi}\int_0^{\pi/2}R^2\sin(\theta)\cos(\theta)d\phi d\theta
[/mm]
Könntest du mir vllt kurz angeben, wie ich explizit vorgehen muss? Das würde mir wahrscheinlich sehr weiter helfen.
(Ich denke mal, dass nicht über [mm] R^2 [/mm] integriert wird, da das ja konstant ist-ich muss doch jetzt über den Term [mm] "R^2\sin(\theta)\cos(\theta)“ [/mm] einmal nach [mm] \phi [/mm] und einmal nach [mm] \theta [/mm] integrieren und dabei jeweils die andere Variable als Konstante behandeln, hab ich das richtig verstanden?)
Gruß
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Hallo!
Das ist korrekt!
[mm]\int_0^{\pi}\int_0^{\pi/2}R^2\sin(\theta)\cos(\theta)d\phi d\theta [/mm]
Hier kannst du zunächst das [mm] R^2 [/mm] rausziehen, weil es ne Konstante ist:
[mm]R^2\int_0^{\pi}\int_0^{\pi/2}\sin(\theta)\cos(\theta)d\phi d\theta[/mm]
Dann integrierst du über [mm] \theta, [/mm] und bekommst dabei irgendwas tolles, nennen wir es C raus:
[mm]R^2\int_0^{\pi}C\,d\phi [/mm]
[mm]2\pi*R^2*C[/mm]
Als Physiker geht man etwas lax mit der Integrationsreihenfolge um, was aber meistens OK ist. Aufpassen muß man, wenn z.B. die Grenzen der einen Integrationsvariablen von der anderen abhängig sind o.ä.
Aber das würde hier vermutlich zu weit führen.
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Nochmals danke für die Antwort!
Ich habe was ganz anderes raus und zwar:
Wenn ich [mm] R^2 [/mm] rausziehe habe ich ja wie du auch beschrieben hast:
[mm] R^2\int_0^{\pi}\int_0^{\pi/2}\sin(\theta)\cos(\theta) d\theta d\varphi
[/mm]
Jetzt versuche ich es mal ganz langsam zu beschreiben-vllt wird dann mein evt. Fehler schnell klar:
Ich integriere mal zuerst über [mm] \theta, [/mm] da meine Funktion
[mm] \sin(\theta)\cos(\theta)
[/mm]
auch von [mm] \theta [/mm] abhängt. Wenn ich diese also über [mm] \theta [/mm] integriere, erhalte ich doch :
[mm] \int_0^{\pi}\sin(\theta)\cos(\theta) d\theta=[-\cos(\theta)\sin(\theta)]^{\pi}
[/mm]
(das hochgestellte [mm] \pi [/mm] soll für die obere Grenze stehen)
und für die Integration über [mm] \varphi [/mm] halte ich diese Funktion komlett konstant, weil sie unabhängig von [mm] \varphi [/mm] ist. Also ist mein 2. Integral (das „äußere“):
[mm] \int_0^{\pi/2}d\varphi=[\varphi]^{\pi/2}
[/mm]
Wenn ich in mein erstes Integral nun die Grenzen einsetze steht da Null, weil jeweils [mm] -\cos(\theta) [/mm] oder [mm] \sin(\theta) [/mm] für [mm] \pi [/mm] oder 0=0 ist. Letztlich habe ich:
[mm] R^2\int_0^{pi}\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta\cdot[\varphi]^{\pi/2}
[/mm]
[mm] =R^2\cdot 0\cdot[\varphi]^{\pi/2}=0 [/mm]
?? Wo liegt mein Fehler?
Grüße
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Hallo Theoretix,
> Nochmals danke für die Antwort!
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> Ich habe was ganz anderes raus und zwar:
>
> Wenn ich [mm]R^2[/mm] rausziehe habe ich ja wie du auch beschrieben
> hast:
>
> [mm]R^2\int_0^{\pi}\int_0^{\pi/2}\sin(\theta)\cos(\theta) d\theta d\varphi[/mm]
>
> Jetzt versuche ich es mal ganz langsam zu beschreiben-vllt
> wird dann mein evt. Fehler schnell klar:
>
> Ich integriere mal zuerst über [mm]\theta,[/mm] da meine Funktion
>
> [mm]\sin(\theta)\cos(\theta)[/mm]
>
> auch von [mm]\theta[/mm] abhängt.
> Wenn ich diese also über [mm]\theta[/mm]
> integriere, erhalte ich doch :
>
> [mm]\int_0^{\pi}\sin(\theta)\cos(\theta) d\theta=[-\cos(\theta)\sin(\theta)]^{\pi}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Zum einen ist doch die Obergrenze [mm]\pi/2[/mm], zum anderen stimmt die Stammfunktion nicht!
Leite mal [mm]-\cos(\theta)\sin(\theta)[/mm] ab, da kommt nie und nimmer [mm]\sin(\theta)\cos(\theta)[/mm] wieder heraus...
Tipp: partielle Integration (oder alternativ Additionstheoreme nutzen!)
>
> (das hochgestellte [mm]\pi[/mm] soll für die obere Grenze stehen)
>
> und für die Integration über [mm]\varphi[/mm] halte ich diese
> Funktion komlett konstant, weil sie unabhängig von [mm]\varphi[/mm]
> ist. Also ist mein 2. Integral (das „äußere“):
>
> [mm]\int_0^{\pi/2}d\varphi=[\varphi]^{\pi/2}[/mm]
Nein! du musst von innen nach außen integrieren, ich setze mal Klammern zur Verdeutlichung.
Zu berechnen ist [mm]R^2\cdot{}\int\limits_{0}^{\pi}\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin(\theta)\cos(\theta) \ d\theta d\varphi} \ = \ R^2\cdot{}\left( \ \int\limits_0^{\pi} \left[ \ \int\limits_0^{\pi/2}\sin(\theta)\cos(\theta) \ d\theta \ \right] \ d\varphi \right)[/mm]
>
> Wenn ich in mein erstes Integral nun die Grenzen einsetze
> steht da Null, weil jeweils [mm]-\cos(\theta)[/mm] oder [mm]\sin(\theta)[/mm]
> für [mm]\pi[/mm] oder 0=0 ist. Letztlich habe ich:
>
> [mm]R^2\int_0^{pi}\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta\cdot[\varphi]^{\pi/2}[/mm]
>
> [mm]=R^2\cdot 0\cdot[\varphi]^{\pi/2}=0[/mm]
>
> ?? Wo liegt mein Fehler?
>
> Grüße
>
LG
schachuzipus
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Hallo,
danke für die Hilfe!
Das Integral war natürlich falsch!
Also ich habe:
[mm] R^2(\int_0^{\pi}[\int_0^{\pi/2}\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta]d\varphi)
[/mm]
Betrachte ich zunächst das innere (unbestimmte)Integral, was ich mittels partieller Integration löse:
[mm] \int_{}^{}\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta=\sin(\theta)\sin(\theta)-\int_{}^{}\cos(\theta)\sin(\theta)d\theta [/mm]
[mm] \gdw 2\cdot\int_{}^{}\sin(\theta)\cos(\theta)d\theta=\sin^2(\theta) \Rightarrow \int_{}^{}\sin(\theta)\cos(\theta)=\frac{1}{2}\sin^2(\theta)
[/mm]
Also erhalte ich für mein Ursprüngliches Integral:
[mm] R^2(\int_{0}^{\pi}[\frac{1}{2}\sin^2(\theta)]^{\pi/2}d\varphi)
[/mm]
Dabei ist [mm] \frac{1}{2}\sin^2(\pi/2)=\frac{1}{2} [/mm] und [mm] \frac{1}{2}\sin^2(0)=0
[/mm]
Setzt man die Grenzen und zieht diese Konstante raus, ergibt sich:
[mm] \frac{1}{2}R^2\int_0^{\pi}d\varphi=\frac{1}{2}R^2\cdot\pi
[/mm]
Ist das jetzt so korrekt?
(In der vorigen Antwort war das [mm] \frac{1}{2} [/mm] wahrscheinlich einfach noch als Konstante C dargestellt?!)
Grüße
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Hallo!
ich sehe da grade noch ein Problem mit deinen Grenzen.
[mm] \theta [/mm] bestimmt bei dir den Winkel zwischen einem Punkt der Kugeloberfläche, dem Ursprung und der xy-Ebene. [mm] \theta=0 [/mm] heißt [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] und [mm] \theta=\frac{\pi}{2} [/mm] gilt für Vektoren in der xy-Ebene.
Das paßt bisher. Aber [mm] \phi [/mm] geht von 0 bis [mm] 2\pi, [/mm] quasi einmal komplett rum um den Ursprung!
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