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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 So 04.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | | Gesucht ist die Fläche der Oberfläche S gegeben durch den Schnitt von S := {(x, y, z) [mm] \in \IR³ [/mm] | z = 2xy} mit C := {(x, y, z) [mm] \in \IR³| [/mm] x² + y² [mm] \le [/mm] 9}. |
Hallo alle zusammen.
Also meine Begrenzung ist ja ein Kreis mit Radius 3 und meine Oberfläche ist eine schiefe Ebene.
Mein Problem ist es nun, wie kann ich jetzt den Flächenanteil dA im Integral für eine Ebene ausdrücken?
2 Vektoren auf der Ebene verwenden und mit denen ein Kreuzprodukt machen?
Sollten es demnach Einheitsvektoren sein, oder?
Das Integral würde ja so aussehen:
[mm] \integral_{A}^{}{\integral_{}^{}{2*x*y} dA}
[/mm]
Ich glaube nicht, dass es reichen würde jetzt das Integral nur durch Einsetzen der Polarkoordinaten und auszurechnen. Oder?
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 So 04.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gesucht ist die Fläche der Oberfläche S gegeben durch den
> Schnitt von $S := [mm] \{(x, y, z) \in \IR³ | z = 2xy\}$ [/mm] mit $C := [mm] \{(x, y, z) \in \IR³| x² + y² \le 9\}$.
[/mm]
> Hallo alle zusammen.
>
> Also meine Begrenzung ist ja ein Kreis mit Radius 3 und
> meine Oberfläche ist eine schiefe Ebene.
Wie kommst du denn darauf? C ist ein unendlich langer Vollzylinder und S ein hyperbolisches Paraboloid.
>
> Mein Problem ist es nun, wie kann ich jetzt den
> Flächenanteil dA im Integral für eine Ebene ausdrücken?
> 2 Vektoren auf der Ebene verwenden und mit denen ein
> Kreuzprodukt machen?
> Sollten es demnach Einheitsvektoren sein, oder?
>
> Das Integral würde ja so aussehen:
>
> [mm]\integral_{A}^{}{\integral_{}^{}{2*x*y} dA}[/mm]
>
> Ich glaube nicht, dass es reichen würde jetzt das Integral
> nur durch Einsetzen der Polarkoordinaten und auszurechnen.
Zylinderkoordinaten bieten sich an.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Di 06.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
Zylinderkoordinaten:
r: [mm] \vektor{r*cos(t) \\ r*sin(t) \\ 2*rcos(t)*rsin(t)}
[/mm]
partielle Ableitungen nach Winkel und Radius:
[mm] r_r= \vektor{cos(t) \\ sin(t) \\ 4*rcos(t)*sin(t)}
[/mm]
[mm] r_t= \vektor{-r*sin(t) \\ r*cos(t) \\ 2*r²(cos(t)²-sin(t)²)}
[/mm]
Nun berechnen wir das Flächenelement dA:
[mm] |r_r \times r_t| [/mm] = r* [mm] \wurzel {8*cos(t)^{4} - 4 cos(t)² + 4*sin(t)^{4} + 1}
[/mm]
Nun Integral:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{3}{r* \wurzel {8*cos(t)^{4} - 4 cos(t)² + 4*sin(t)^{4} + 1} dr dt}}
[/mm]
Habe das mit dem Taschenrechner gelöst, kommt etwas um 52 heraus, jedenfalls das falsche Ergebnis.
Richtiges Ergebnis: [mm] \pi/6*(37^{3/2}-1)
[/mm]
Habe ich im Integral etwas vergessen?
lg
Zuggel
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Und wenn du einfach f als skalare Funktion über dem Kreis mit Radius 3 auffasst? Dann ist das Flächenelement ziemlich einfach zu bestimmen und du kannst anschließend zu Polarkoordinaten übergehen, um die Lösung zu bestimmen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Di 06.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
Du meinst so etwas:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{3}{2*r*cos(t)*r*sin(t)*r dr dt}}?
[/mm]
Würde hier nicht das Volumen unter der Funktion 2xy mit der Grundfläche eines Kreises herauskommen?
lg
Zuggel
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Lass mal schauen... Mit A als Kreisfläche, F als Oberfläche, [mm] d\sigma [/mm] als Oberflächenelement und [mm]f(x, y) = 2xy[/mm] hätten wir:
[mm]\int \int_F f(x, y) \, d\sigma = \int \int_A 2xy \wurzel{4y^2 + 4x^2 +1} \, dxdy[/mm]
Dann wäre noch die Koordinatentransformation zu Polarkoordinaten zu machen, wobei man [mm]x^2 + y^2 = r^2[/mm] nutzen kann. Wenn ich richtig rechne, gibt das
[mm]\int \int_A 2xy \wurzel{4y^2 + 4x^2 +1} \,dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^3 2r^3 \cos(\phi) \sin(\phi) \wurzel{4r^2 +1} \, dr d\phi[/mm]
Die Stammfunktion von [mm]2r^3 \wurzel{4r^2 +1} [/mm] ist laut Mathematica [mm]\bruch{1}{60}(4x^2+1)^{\bruch{3}{2}} (6x^2 -1)[/mm], die von [mm]\cos(\phi) \sin(\phi) [/mm] ist [mm]-\bruch{\cos^2(\phi)}{2}[/mm].
Irgendwo steckt jetzt aber noch ein Fehler, denn das Ergebnis wäre 0. Vielleicht sollte man nur über einen Viertelkreis - also bis [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - integrieren und das Ergebnis mit 4 multiplizieren (wg. Symmetrie). Schau mal, was da herauskommt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Di 06.01.2009 | | Autor: | Zuggel |
> Lass mal schauen... Mit A als Kreisfläche, F als
> Oberfläche, [mm]d\sigma[/mm] als Oberflächenelement und [mm]f(x, y) = 2xy[/mm]
> hätten wir:
>
> [mm]\int \int_F f(x, y) \, d\sigma = \int \int_A 2xy \wurzel{4y^2 + 4x^2 +1} \, dxdy[/mm]
>
> Dann wäre noch die Koordinatentransformation zu
> Polarkoordinaten zu machen, wobei man [mm]x^2 + y^2 = r^2[/mm]
> nutzen kann. Wenn ich richtig rechne, gibt das
>
> [mm]\int \int_A 2xy \wurzel{4y^2 + 4x^2 +1} \,dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^3 2r^3 \cos(\phi) \sin(\phi) \wurzel{4r^2 +1} \, dr d\phi[/mm]
>
> Die Stammfunktion von [mm]2r^3 \wurzel{4r^2 +1}[/mm] ist laut
> Mathematica [mm]\bruch{1}{60}(4x^2+1)^{\bruch{3}{2}} (6x^2 -1)[/mm],
> die von [mm]\cos(\phi) \sin(\phi)[/mm] ist
> [mm]-\bruch{\cos^2(\phi)}{2}[/mm].
>
> Irgendwo steckt jetzt aber noch ein Fehler, denn das
> Ergebnis wäre 0. Vielleicht sollte man nur über einen
> Viertelkreis - also bis [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] - integrieren und
> das Ergebnis mit 4 multiplizieren (wg. Symmetrie). Schau
> mal, was da herauskommt.
>
>
Eben, das ist das Problem, dass beim Integral über [mm] 2\pi [/mm] sin(t)*cos(t) = 0 werden. Aber ich glaube, wir sind mit diesem Lösungsansatz auf dem Holzweg. Bei anderen Oberflächenintegralen habe ich immer diese Vorgehensweise angewandt, welche ich geschrieben habe.
Die Frage ist eben auch, ob das Integral auf 2*x*z gemacht wird oder auf 1, von mir aus gesehen berücksichtige ich die Änderung der Obfläche mit steigender z Koordinate bereits im Kreuzprodukt über [mm] r_t [/mm] und [mm] r_r [/mm] und müsste somit doch nur auf 1 integrieren...
Aber vielleicht kannst du oder jemand anders mich eines besseren belehren.
lg
Zuggel
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> > Lass mal schauen... Mit A als Kreisfläche, F als
> > Oberfläche, [mm]d\sigma[/mm] als Oberflächenelement und [mm]f(x, y) = 2xy[/mm]
> > hätten wir:
> >
> > [mm]\int \int_F f(x, y) \, d\sigma = \int \int_A 2xy \wurzel{4y^2 + 4x^2 +1} \, dxdy[/mm]
Hallo zusammen,
das ist schon etwas zuviel des Guten. Da nur der
Flächeninhalt gesucht ist, heisst das Integral
einfach:
[mm]\int \int_F \, d\sigma = \int \int_A \wurzel{4y^2 + 4x^2 +1} \, dxdy[/mm]
Mit den aufeinanderfolgenden Substitutionen
$\ [mm] r^2=x^2+y^2$ [/mm] (Polarkoordinaten !),
$\ [mm] u=1+4r^2$
[/mm]
kommt man leicht zum Ergebnis, das schon
genannt wurde.
Gruß Al
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Ach daran lag's. Naja, mein Schwerpunkt sind eher stochastische Prozesse ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]") .
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