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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:00 Di 11.03.2008 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die Oberfläche des Rotationskörpers x=r*cos³t und y=r*sin³t mit [mm] -\pi \le t<\pi [/mm] der sich um die x-Achse dreht. |
Da fehlt mir leider auch der Ansatz. Was ist den x und y ? Sind das zwei verschiedene Körper? Mit welcher Formel berechne ich das?
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Hallo [mm] anna_h,
[/mm]
> Bestimmen Sie die Oberfläche des Rotationskörpers x=r*cos³t
> und y=r*sin³t mit [mm]-\pi \le t<\pi[/mm] der sich um die x-Achse
> dreht.
> Da fehlt mir leider auch der Ansatz. Was ist den x und y ?
> Sind das zwei verschiedene Körper? Mit welcher Formel
> berechne ich das?
x und y sind hier Funktionen von t.
Zur Berechnung der Oberfläche von Rotationskörpern: ![[]](/images/popup.gif) Erste Guldin'sche Regel
Sind aber, wie hier, x und y Funktionen von t, so muss die Formel etwas geändert werden.
Um das herauszubekommen, wie die Formel geändert werden muß, gehe wie folgt vor:
[mm]y\left(x\left(t\right)\right) \ = \ y\left(t\right)[/mm]
Leite nun die Gleichung nach t ab, und Du erhältst [mm]y'\left(x\right)= \dots[/mm]
Außerdem gilt: [mm]\bruch{dx}{dt}=\dot{x\left(t\right)} \Rightarrow dx = \dot{x\left(t\right)} dt[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:58 Di 11.03.2008 | | Autor: | anna_h |
Ist y(x(t))=r*sin³(r*cos³(t)) ?
Das kann ich nicht? Brauche nochmal eine Hilfe?
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Hallo [mm] anna_h,
[/mm]
> Ist y(x(t))=r*sin³(r*cos³(t)) ?
> Das kann ich nicht? Brauche nochmal eine Hilfe?
Wir haben also die Gleichung
[mm]y\left(x\left(t\right)\right) = y\left(t\right)[/mm]
Rechte und Linke Seite nach t abgeleitet:
[mm]y'\left(x\right)*{\dot{x}\left(t\right)}={\dot{y}\left(t\right)}[/mm]
[mm]\Rightarrow y'\left(x\right)=\bruch{\dot{y}\left(t\right)}{\dot{x}\left(t\right)}[/mm]
Eingesetzt in die Formel:
[mm]O=2*\pi*\integral_{a}^{b}{f\left(x\right) * \wurzel{1+\left(f'\left(x\right)\right)^2} \ dx}=2*\pi*\integral_{a}^{b}{y * \wurzel{1+\left(y')^2} \ dx}[/mm]
[mm]=2*\pi**\integral_{t_{1}}^{t_{2}}{y * \wurzel{1+\left(\bruch{\dot{y}\left(t\right)}{\dot{x}\left(t\right)}\right)^2} \ {\dot{x}\left(t\right)} \ dt}[/mm]
[mm]=2*\pi*\integral_{t_{1}}^{t_{2}}{y * \wurzel{\left(\dot{x}\left(t\right)\right)^{2}+\left(\dot{y}\left(t\right)\right)^{2}} \ dt}[/mm]
Damit kann das Integral berechnet werden.
Gruß
MathePower
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