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| Aufgabe | Berechnen Sie den Oberflächeninhalt von
[mm]M:=\left\{(x,y,z)\in\IR^3 | 2xz=y^2, x,z \in (0,1)\right\} [/mm] |
Hallo Leute,
ich habe eine Frage zur folgenden Menge M, für die ich den Oberflächeninhalt berechnen soll. Die Menge an sich würde ich mir als eine Art "Konzerthallendach" vorstellen. :)
Für den Oberflächeninhalt benötige ich eine Funktion, nennen wir sie f. Ich würde f wie folgt angeben:
[mm]f(x,z)=\wurzel{2xz} [/mm] (Stimmt das überhaupt?)
Laut meinen Aufzeichnungen benötige ich nun noch eine Parametrisierung. Wie bestimmte ich diese bzw. brauche ich überhaupt eine Parametrisierung?
Danke schon mal für eure Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Di 04.11.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Suchender,
ich hatte jetzt leider keine Zeit mich näher mit der Aufgabe zu beschäftigen, daher einige generelle Tipps. Du bastelst dir eine Funktion f mit entsprechenden Definitionsbereich im [mm] \IR^2 [/mm] nach [mm] \IR^3, [/mm] für die $Graph(f)= [mm] \partial [/mm] M$ ist.
Als Parametrisierung nimmt man meist Polarkoordinaten oder Zylinderkoordinaten.
MfG
Ladon
Edit: Richtige Antwort steht unten. Der Hinweis ist nicht vollständig und damit eventuell irreführend.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:27 Mi 05.11.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Suchender,
ich werde dir die einzelnen Schritte einmal auflisten.
1. Parametrisierung finden
Suche eine Funktion [mm] f:U\to\IR^3 [/mm] mit [mm] U\subseteq\IR^2, [/mm] sodass $f(U)=Oberfläche(M)$.
2. Parametrisierung formulieren
Beschreibt $y=f(x,z)$ die Fläche, wobei [mm] f:U\to\IR, [/mm] dann ist [mm] \phi:U\to\IR^3 [/mm] mit [mm] \phi(x,z)=\vektor{x \\ f(x,z) \\ z} [/mm] die gesuchte Parametrisierung der Oberfläche und [mm] $Graph(\phi)=Oberfläche(M)=\partial [/mm] M$.
3. Integral aufschreiben
[mm] $Oberfläche(M)=\int_{\partial M} [/mm] g(x) [mm] d\mu=\int_U g(\phi(x,z))||\phi_x\times \phi_z||d(x,z)$ [/mm] mit g(x)=1, [mm] \phi_x=\frac{\partial \phi}{\partial x}, \phi_z=\frac{\partial \phi}{\partial z} [/mm] und [mm] d\mu=||\phi_x\times \phi_z||dxdz. [/mm] Hierbei ist g(x)=1 zu wählen, da man gerade die Oberfläche berechnen möchte.
Danach: straightforward!
MfG
Ladon
PS: Falls Schreibfehler vorhanden sind bitte ich sie zu entschuldigen, da ich mit meinem Smartphone unterwegs schreibe.
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Hallo Ladon,
danke für deine tolle Antwort. Ich hatte mir bereits auch so etwas in dieser Richtung überlegt, ich verstehe allerdings noch nicht so recht warum [mm]g(x)=1 [/mm] zu wählen ist. Kann ich [mm]g(x)=1 [/mm] wählen, weil ich [mm]d\mu[/mm] gerade als Oberflächenelement für die Parametrisierung meiner Menge bestimme?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:44 Do 06.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Ladon,
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> danke für deine tolle Antwort. Ich hatte mir bereits auch
> so etwas in dieser Richtung überlegt, ich verstehe
> allerdings noch nicht so recht warum [mm]g(x)=1[/mm] zu wählen ist.
> Kann ich [mm]g(x)=1[/mm] wählen, weil ich [mm]d\mu[/mm] gerade als
> Oberflächenelement für die Parametrisierung meiner Menge
> bestimme?
Das Integral [mm] $\int_U 1*||\phi_x\times \phi_z||d(x,z) [/mm] $ liefert Dir doch gerade den Oberflächeninhalt
Schau mal hier
http://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a3/0708/vorl13_a3.pdf
FRED
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