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| Aufgabe | Berechnen Sie zu gegebenem R > 0 den Flächeninhalt desjenigen Teils der Halbkugeloberfläche [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} [/mm] + [mm] z^{2} [/mm] = [mm] R^{2}, [/mm] z [mm] \ge [/mm] 0, welcher in dem zur z-Achse parallelen Kreiszylinder mit (x - [mm] \bruch{R}{2})^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \le \bruch{R^{2}}{4} [/mm] liegt.
Tipp: Stellen Sie diesen Teil der Halbkugeloberfläche als Graphen einer Funktion über dem durch die Kreiszylinderungleichung gegebenem Gebiet dar. |
hi :)
also Aufgabe steht ja schon da.
In der Vorlesung hatten wir so eine nette Formel für den Fall, dass wir die Oberfläche eines Graphen berechnen wollen:
Oberfläche = [mm] \integral_{G}^{}{\wurzel{1 + h(x,y)_{x}^{2} + h(x,y)_{y}^{2}} d(x,y)}
[/mm]
mit(in diesem Fall) [mm] h=\wurzel{R^{2} - x^{2} - y^{2}}
[/mm]
ergibt dann:
[mm] \integral_{G}^{}{\wurzel{1 + \bruch{x^{2}}{R^{2}-x^{2}-y^{2}} + \bruch{y^{2}}{R^{2}-x^{2}-y^{2}}} d(x,y)}
[/mm]
= [mm] \integral_{G}^{}{\wurzel{1 + \bruch{x^{2}+y^{2}}{R^{2}-x^{2}-y^{2}}} d(x,y)}
[/mm]
Da das Gebiet, über das ich integriere ein Kreis ist, will ich hier mit den Kreiskoordinaten substituieren. Leider liegt der Kreis nicht genau in der Mitte meiner Halbkugelgrundfläche, also muss ich ihn um [mm] \bruch{R}{2} [/mm] auf der x-Achse nach rechts verschieben.
Also wähle ich für x = [mm] r*cos(\phi) [/mm] + [mm] \bruch{R}{2} [/mm] und für y = [mm] r*sin(\phi)
[/mm]
mit 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le \bruch{R}{2} [/mm] und 0 [mm] \le \phi \le 2*\pi
[/mm]
das ganze in meine Formel eingesetzt ergibt dann:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{R}{2}}{\integral_{0}^{2*\pi}{\wurzel{1 + \bruch{(r*cos(\phi) + \bruch{R}{2})^{2} + (r*sin(\phi))^{2}}{R^{2} - (r*cos(\phi) + \bruch{R}{2})^{2} - (r*sin(\phi))^{2}}}*r d\phi} dr}
[/mm]
ja und genau hier hänge ich. ich kann das integral nicht wirklich so weit vereinfachen, dass ich es leicht integrieren kann. Ich weiß, dass ich [mm] cos^{2} [/mm] und [mm] sin^{2} [/mm] zu 1 zusammenziehen kann, aber das wars auch schon....
wäre nett wenn ihr da nen Tipp für mich hättet :)
danke schonmal :)
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Hallo reallifenoob,
> Berechnen Sie zu gegebenem R > 0 den Flächeninhalt
> desjenigen Teils der Halbkugeloberfläche [mm]x^{2}[/mm] + [mm]y^{2}[/mm] +
> [mm]z^{2}[/mm] = [mm]R^{2},[/mm] z [mm]\ge[/mm] 0, welcher in dem zur z-Achse
> parallelen Kreiszylinder mit (x - [mm]\bruch{R}{2})^{2}[/mm] + [mm]y^{2} \le \bruch{R^{2}}{4}[/mm]
> liegt.
> Tipp: Stellen Sie diesen Teil der Halbkugeloberfläche als
> Graphen einer Funktion über dem durch die
> Kreiszylinderungleichung gegebenem Gebiet dar.
> hi :)
>
> also Aufgabe steht ja schon da.
>
> In der Vorlesung hatten wir so eine nette Formel für den
> Fall, dass wir die Oberfläche eines Graphen berechnen
> wollen:
>
> Oberfläche = [mm]\integral_{G}^{}{\wurzel{1 + h(x,y)_{x}^{2} + h(x,y)_{y}^{2}} d(x,y)}[/mm]
>
> mit(in diesem Fall) [mm]h=\wurzel{R^{2} - x^{2} - y^{2}}[/mm]
>
> ergibt dann:
>
> [mm]\integral_{G}^{}{\wurzel{1 + \bruch{x^{2}}{R^{2}-x^{2}-y^{2}} + \bruch{y^{2}}{R^{2}-x^{2}-y^{2}}} d(x,y)}[/mm]
>
> = [mm]\integral_{G}^{}{\wurzel{1 + \bruch{x^{2}+y^{2}}{R^{2}-x^{2}-y^{2}}} d(x,y)}[/mm]
>
> Da das Gebiet, über das ich integriere ein Kreis ist, will
> ich hier mit den Kreiskoordinaten substituieren. Leider
> liegt der Kreis nicht genau in der Mitte meiner
> Halbkugelgrundfläche, also muss ich ihn um [mm]\bruch{R}{2}[/mm] auf
> der x-Achse nach rechts verschieben.
> Also wähle ich für x = [mm]r*cos(\phi)[/mm] + [mm]\bruch{R}{2}[/mm] und für
> y = [mm]r*sin(\phi)[/mm]
> mit 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le \bruch{R}{2}[/mm] und 0 [mm]\le \phi \le 2*\pi[/mm]
>
> das ganze in meine Formel eingesetzt ergibt dann:
>
> [mm]\integral_{0}^{\bruch{R}{2}}{\integral_{0}^{2*\pi}{\wurzel{1 + \bruch{(r*cos(\phi) + \bruch{R}{2})^{2} + (r*sin(\phi))^{2}}{R^{2} - (r*cos(\phi) + \bruch{R}{2})^{2} - (r*sin(\phi))^{2}}}*r d\phi} dr}[/mm]
>
> ja und genau hier hänge ich. ich kann das integral nicht
> wirklich so weit vereinfachen, dass ich es leicht
> integrieren kann. Ich weiß, dass ich [mm]cos^{2}[/mm] und [mm]sin^{2}[/mm] zu
> 1 zusammenziehen kann, aber das wars auch schon....
>
> wäre nett wenn ihr da nen Tipp für mich hättet :)
Bringe den Ausdruck
[mm]1 + \bruch{(r*cos(\phi) + \bruch{R}{2})^{2} + (r*sin(\phi))^{2}}{R^{2} - (r*cos(\phi) + \bruch{R}{2})^{2} - (r*sin(\phi))^{2}}[/mm]
zunächst auf den Hauptnenner.
Dann kannst Du zumindestens nach r integrieren.
>
> danke schonmal :)
>
>
Gruß
MathePower
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