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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:55 Do 05.11.2009 | | Autor: | Limone81 |
| Aufgabe | | Welches oben offene zylindrische Gefäß mit 1,5 Liter Fassungsvermögen hat den geringsten Materialverbrauch? |
Hallo,
also ich habe eine Frage, könnt ihr mal drübergucken ob da am anfang kein denk und/oder rechenfehler drinsteckt bitte???
die allgemeine Formel für die gesuchte Oberfläche ist ja [mm] O=2\pi [/mm] r(r+h).
Da der Zylinder oben offen ist, muss ich ja diese Fläche wieder abziehen. Ist dann die gesuchte Formel O= [mm] \pi [/mm] r*(r+2h) ???
Ich habe das abgezogen und zusammengefasst.
gegeben ist ja V= [mm] \pi [/mm] r²h also V=1500 ml
1500= [mm] \pi [/mm] r²h [mm] \gdw [/mm] h= [mm] \bruch{1500}{ \pi r^{2}}
[/mm]
gesucht: O= [mm] \pi [/mm] r * (r+2* [mm] \bruch{1500}{\pi r^{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{ \pi r^{3} + 3000}{r} [/mm] soll minimal werden
O'= [mm] \bruch{2 \pi r^{3} + 3000}{r^{3}}
[/mm]
[mm] \bruch{2 \pi r^{3} + 3000}{r^{2}}=0 [/mm] und hier komm ich nicht weiter, denn wenn ich das nach r auflöse muss ich nach meinen Berechnungen die 3. Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen!
Ich komm aber auch nicht darauf wo mein Fehler ist. ich bedanke mich im Voraus über eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Do 05.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast für die Oberfläche eines Zylinders ja hier:
[mm] O=\underbrace{\pi*r^{2}}_{\text{Grundfläche}}+\underbrace{2\pi*r*h}_{\text{Mantelfläche}}
[/mm]
Und es gilt:
[mm] V=\pi*r^{2}*h=1500[cm^{3}]
[/mm]
[mm] \Rightarrow h=\bruch{1500}{\pi*r^{2}}
[/mm]
Also:
[mm] O=\pi*r^{2}+2*\pi*r*\bruch{1500}{\pi*r^{2}}
[/mm]
[mm] =\pi*r^{2}+\bruch{3000}{r}
[/mm]
[mm] =\pi*r^{2}+3000r^{-1}
[/mm]
Und wenn du das jetzt ableitest, ergibt sich:
[mm] O'(r)=2\pi*r-3000r^{-2}
[/mm]
Setze man dieses gleich Null, ergibt sich
[mm] 0=2\pi*r-\bruch{3000}{r^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \pi*r=\bruch{1500}{r^{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \pi*r^{3}=1500
[/mm]
[mm] \gdw r^{3}=\bruch{1500}{\pi}
[/mm]
Und mit diesem Wert (bitte nicht runden) rechne die Aufgabe jetzt zuende, du usst ja noch prüfen, ob es ein Minimum ist, und die konkreten Maße berechnen.
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Do 05.11.2009 | | Autor: | glie |
> Welches oben offene zylindrische Gefäß mit 1,5 Liter
> Fassungsvermögen hat den geringsten Materialverbrauch?
> Hallo,
> also ich habe eine Frage, könnt ihr mal drübergucken ob
> da am anfang kein denk und/oder rechenfehler drinsteckt
> bitte???
>
> die allgemeine Formel für die gesuchte Oberfläche ist ja
> [mm]O=2\pi[/mm] r(r+h).
> Da der Zylinder oben offen ist, muss ich ja diese Fläche
> wieder abziehen. Ist dann die gesuchte Formel O= [mm]\pi[/mm]
> r*(r+2h) ???
> Ich habe das abgezogen und zusammengefasst.
>
> gegeben ist ja V= [mm]\pi[/mm] r²h also V=1500 ml
>
> 1500= [mm]\pi[/mm] r²h [mm]\gdw[/mm] h= [mm]\bruch{1500}{ \pi r^{2}}[/mm]
>
> gesucht: O= [mm]\pi[/mm] r * (r+2* [mm]\bruch{1500}{\pi r^{2}})[/mm] =
> [mm]\bruch{ \pi r^{3} + 3000}{r}[/mm] soll minimal werden
Hallo,
bis hierher stimmt´s doch wunderbar!!
> O'= [mm]\bruch{2 \pi r^{3} + 3000}{r^{3}}[/mm]
Wie kommst du auf diese Ableitung????
Leite mal richtig nach der Quotientenregel ab, dann müsstest du genau auf das von Marius genannte Ergebnis kommen.
Gruß Glie
>
> [mm]\bruch{2 \pi r^{3} + 3000}{r^{2}}=0[/mm] und hier komm ich nicht
> weiter, denn wenn ich das nach r auflöse muss ich nach
> meinen Berechnungen die 3. Wurzel aus einer negativen Zahl
> ziehen!
>
> Ich komm aber auch nicht darauf wo mein Fehler ist. ich
> bedanke mich im Voraus über eure Hilfe!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Limone81 |
Danke schonmal also:
>
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> > O'= [mm]\bruch{2 \pi r^{3} + 3000}{r^{3}}[/mm]
>
> Wie kommst du auf diese Ableitung????
unten steht ausversehn die falsche Hochzahl da muss r²stehen
Ich komme auf die Ableitung wie Marius, ich habe die gleiche Ableitung nur dass ich alles auf einen Bruch geschrieben habe. wenn ich das wieder asueinandernehme ist das die Ableitung von Marius. Dann hab ich nur übersehen, dass es für O'=0 besser ist keinen kompletten Bruch zu nehmen.
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> Leite mal richtig nach der Quotientenregel ab, dann
> müsstest du genau auf das von Marius genannte Ergebnis
> kommen.
>
> Gruß Glie
>
>
> >
> > [mm]\bruch{2 \pi r^{3} + 3000}{r^{2}}=0[/mm] und hier komm ich nicht
> > weiter, denn wenn ich das nach r auflöse muss ich nach
> > meinen Berechnungen die 3. Wurzel aus einer negativen Zahl
> > ziehen!
> >
> > Ich komm aber auch nicht darauf wo mein Fehler ist. ich
> > bedanke mich im Voraus über eure Hilfe!
> >
>
Dann rechne ich mal weiter! Danke!
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