Oberer Halbkreis < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Di 17.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine kurze Frage.
In meiner Vorlesung steht, dass [mm] \gamma:[0,\pi] [/mm] mit [mm] t\mapsto e^{i\pi -t)} [/mm] einen oberen Halbkreis von -1 nach 1 beschreibt.
Irgendwie versteh ich das nicht... Müsste [mm] \gamma [/mm] dann nicht im Intervall [-1,1] starten?
Das Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] ist auf der x-Achse doch ein ganzes Stück weiter rechts als [-1,1]...
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 Di 17.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> In meiner Vorlesung steht, dass [mm]\gamma:[0,\pi][/mm] mit [mm]t\mapsto e^{i\pi -t)}[/mm]
> einen oberen Halbkreis von -1 nach 1 beschreibt.
>
> Irgendwie versteh ich das nicht... Müsste [mm]\gamma[/mm] dann nicht
> im Intervall [-1,1] starten?
>
> Das Intervall [mm][0,\pi][/mm] ist auf der x-Achse doch ein ganzes
> Stück weiter rechts als [-1,1]...
Benutze die Moivre-Formel:
[mm] e^{i(\pi -t)} = \cos(\pi-t) + i \sin(\pi-t) = -\cos t + i \sin t [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Di 17.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Benutze die Moivre-Formel:
>
> [mm]e^{i(\pi -t)} = \cos(\pi-t) + i \sin(\pi-t) = -\cos t + i \sin t[/mm]
Hmm, also wenn ich diese Formel nehme, und da für t die Endpunkte des Intervalls [mm] [0,\pi] [/mm] einsetze, dann erhalte ich zwar -1 und 1, aber das sind ja dann eigentlich meine dazugehörigen y-Werte, oder nicht?
Ich hab da irgendwie noch so ne andere Theorie im Hinterkopf:
Man betrachtet irgendwie Winkel im Koordinatensystem. Dann sind auf der positiven x-Achse 0°, auf der positiven y-Achse sind 90°, auf der negativen x-Achse sing [mm] 180°=\pi, [/mm] auf der negativen y-Achse sind 270° und auf der positiven x-Achse sind wieder [mm] 360°=2\pi.
[/mm]
Ich glaube, das hat irgendwas mit Polarkoordinaten zu tun, oder?
Und dann wäre das Intervall ja von der positiven x-Achse zur negativen x-Achse, und weil vor dem e kein r * ... steht ist der Radius also r=1 und weil da kein a + ... mehr davor steht ist der Mittelpunkt a=0.
Stimmt das irgendwie so?
Nur woran erkenne ich, dass es sich um Winkel handelt? Bzw. woran erkenne ich, dass es sich bei dem Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] eben nicht um die Werte 0 und 3,14 auf der x-Achse handelt?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Di 17.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Rainer!
>
>
>
> > Benutze die Moivre-Formel:
> >
> > [mm]e^{i(\pi -t)} = \cos(\pi-t) + i \sin(\pi-t) = -\cos t + i \sin t[/mm]
>
>
>
> Hmm, also wenn ich diese Formel nehme, und da für t die
> Endpunkte des Intervalls [mm][0,\pi][/mm] einsetze, dann erhalte ich
> zwar -1 und 1, aber das sind ja dann eigentlich meine
> dazugehörigen y-Werte, oder nicht?
Nein, die x- und y-Werte sind der Real- und Imaginärteil davon, also
[mm] x = -\cos t [/mm] und [mm] y = \sin t[/mm]
Damit hast du deinen Halbkreis.
> Ich hab da irgendwie noch so ne andere Theorie im
> Hinterkopf:
>
> Man betrachtet irgendwie Winkel im Koordinatensystem. Dann
> sind auf der positiven x-Achse 0°, auf der positiven
> y-Achse sind 90°, auf der negativen x-Achse sing [mm]180°=\pi,[/mm]
> auf der negativen y-Achse sind 270° und auf der positiven
> x-Achse sind wieder [mm]360°=2\pi.[/mm]
>
> Ich glaube, das hat irgendwas mit Polarkoordinaten zu tun,
> oder?
Ja. Die Formel
[mm] x+iy = r*e^{i\varphi} = r\cos\varphi + i r\sin\varphi[/mm]
stellt die Beziehung zwischen kartesischen und Polarkoordinaten in der komplexen Ebene dar.
> Und dann wäre das Intervall ja von der positiven x-Achse
> zur negativen x-Achse, und weil vor dem e kein r * ...
> steht ist der Radius also r=1 und weil da kein a + ... mehr
> davor steht ist der Mittelpunkt a=0.
>
> Stimmt das irgendwie so?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nur woran erkenne ich, dass es sich um Winkel handelt? Bzw.
> woran erkenne ich, dass es sich bei dem Intervall [mm][0,\pi][/mm]
> eben nicht um die Werte 0 und 3,14 auf der x-Achse
> handelt?
Das sind zwei Seiten derselben Sache. Zunächst einmal liegt das Intervall [mm][0,\pi][/mm], wie du ganz richtig schreibst, einfach auf der x-Achse.
Aber: hier geht es ja nicht allein um dieses Intervall, sondern um das Einsetzen in die Funktion
[mm] e^{i*\varphi} [/mm]
(in dem Beispiel: [mm] $\varphi=\pi [/mm] -t$).
Diese Funktion macht aus dem Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] die komplexe Zahl [mm] $e^{i*\varphi} [/mm] $, die in Polarkoordinaten den Betrag 1 und den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] hat.
Wenn t von 0 bis [mm] $\pi$ [/mm] läuft, läuft der Winkel [mm] $\pi-t$ [/mm] von [mm] $\pi$ [/mm] bis 0, und der Punkt [mm] $e^{i(\pi-t)}$ [/mm] durchläuft einen Halbkreis vonm Radius 1.
Schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) diese interaktive Demo an.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Di 17.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> Nein, die x- und y-Werte sind der Real- und Imaginärteil
> davon, also
>
> [mm]x = -\cos t[/mm] und [mm]y = \sin t[/mm]
>
> Damit hast du deinen Halbkreis.
Verstehe ich das richtig:
Du sagst, die Zahl [mm] e^{i(\pi -t)} [/mm] ist eine komplexe Zah, also [mm] z=e^{i(\pi -t)}.
[/mm]
Und weil [mm] -\cos(t)+i*\sin(t) [/mm] das gleiche ist, ist also auch [mm] z=-\cos(t)+i*\sin(t).
[/mm]
Und weil das ganz normal eine komplexe Zahl ist, ist der Realteil [mm] -\cos(t), [/mm] also x und [mm] \sin(t) [/mm] ist der Imaginärteil, also y?
Und wenn ich da nun mein t einsetze erhalte ich also wieder eine komplexe Zahl?
Und meine Ergebnisse -1 und 1 sind dann eben komplexe Zahlen, und weil da kein Imaginärteil dabei ist, sind es eben nur die Realteile und deshalb werden sie auf der x-Achse abgetragen?
Und genauso dann mit den Werten zwischen 0 und [mm] \pi [/mm] ? Und das ergibt dann den Hablkreis?
> Das sind zwei Seiten derselben Sache. Zunächst einmal liegt
> das Intervall [mm][0,\pi][/mm], wie du ganz richtig schreibst,
> einfach auf der x-Achse.
>
> Aber: hier geht es ja nicht allein um dieses Intervall,
> sondern um das Einsetzen in die Funktion
>
> [mm]e^{i*\varphi}[/mm]
>
> (in dem Beispiel: [mm]\varphi=\pi -t[/mm]).
>
> Diese Funktion macht aus dem Winkel [mm]\varphi[/mm] die komplexe
> Zahl [mm]e^{i*\varphi} [/mm], die in Polarkoordinaten den Betrag 1
> und den Winkel [mm]\varphi[/mm] hat.
>
> Wenn t von 0 bis [mm]\pi[/mm] läuft, läuft der Winkel [mm]\pi-t[/mm] von [mm]\pi[/mm]
> bis 0, und der Punkt [mm]e^{i(\pi-t)}[/mm] durchläuft einen
> Halbkreis vonm Radius 1.
Das werde ich mir nochmal morgen in Ruhe ansehen.
Im Momemt kann ich mich nicht so darauf konzentrieren, weil ich nebenbei noch das EM-Spiel (Frankreich - Italien) mitverfolge  .
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:25 Mi 18.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> > Nein, die x- und y-Werte sind der Real- und Imaginärteil
> > davon, also
> >
> > [mm]x = -\cos t[/mm] und [mm]y = \sin t[/mm]
> >
> > Damit hast du deinen Halbkreis.
>
>
>
> Verstehe ich das richtig:
>
> Du sagst, die Zahl [mm]e^{i(\pi -t)}[/mm] ist eine komplexe Zah,
> also [mm]z=e^{i(\pi -t)}.[/mm]
>
> Und weil [mm]-\cos(t)+i*\sin(t)[/mm] das gleiche ist, ist also auch
> [mm]z=-\cos(t)+i*\sin(t).[/mm]
>
> Und weil das ganz normal eine komplexe Zahl ist, ist der
> Realteil [mm]-\cos(t),[/mm] also x und [mm]\sin(t)[/mm] ist der Imaginärteil,
> also y?
>
> Und wenn ich da nun mein t einsetze erhalte ich also wieder
> eine komplexe Zahl?
> Und meine Ergebnisse -1 und 1 sind dann eben komplexe
> Zahlen, und weil da kein Imaginärteil dabei ist, sind es
> eben nur die Realteile und deshalb werden sie auf der
> x-Achse abgetragen?
Richtig. Für $t=0$ bzw. [mm] $t=\pi$. [/mm] Nimmst du zum Beispiel [mm] $t=\pi/2$, [/mm] dann ist $z=0+i*1=i$, was auf der imaginären Achse liegt.
> Und genauso dann mit den Werten zwischen 0 und [mm]\pi[/mm] ? Und
> das ergibt dann den Hablkreis?
Du kannst es auch so sehen: die komplexe Ebene ist unter Anderem auch der [mm] $\IR^2$, [/mm] genauer gesagt der [mm] $\IR^2$ [/mm] mit einer Multiplikation (im "normalen" [mm] $\IR^2$ [/mm] kannst du Punkte nur addieren, nicht multiplizieren).
Das, was du hier siehst, sind kartesische und Polarkoordinaten im [mm] $\IR^2$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Vielen Dank für deine Hilfe.
Das Ganze ist mir nun ein bisschen klarer
LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:43 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> > Hmm, also wenn ich diese Formel nehme, und da für t die
> > Endpunkte des Intervalls [mm][0,\pi][/mm] einsetze, dann erhalte ich
> > zwar -1 und 1, aber das sind ja dann eigentlich meine
> > dazugehörigen y-Werte, oder nicht?
>
> Nein, die x- und y-Werte sind der Real- und Imaginärteil
> davon, also
>
> [mm]x = -\cos t[/mm] und [mm]y = \sin t[/mm]
Ich glaube, ich habe meinen Denkfehler gefunden:
Ich denke immer noch im "reellen Zeichnen einer Funktion"
Ich hab nur das Intervall gesehen, dachte dann an die x-Achse, und daran, wie gewohnt die zu den Intervall-Punkten gehörigen berechneten Werte direkt oberhalb der Punkte (in entsprechender Höhe) abzutragen...
Aber das geht ja gar nicht, ich bilde ja gar nicht in den [mm] \IR [/mm] ab, sondern in den [mm] \IR^2... [/mm]
Wie stelle ich mir das am besten graphisch vor?
Soll ich ein Koordinatensystem nehmen für den Definitionsbereich (weil wir ja in [mm] \IC [/mm] sind, auch wenn ich gerade ja nur einen Teil der reellen Achse betrachte) und daneben noch ein eins für den Wertebereich?
Aber das passt irgendwie nicht so ganz dazu, wenn z.B. Bücher eine graphische Darstellung der Konjugation geben. Die zeichnen dann nämlich alles in ein Koordinatensystem und sagen dann, Konjugation ist die Spiegelung an der x-Achse.
Das ist irgendwie gar nicht so einfach...
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Do 03.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Ich glaube, ich habe meinen Denkfehler gefunden:
>
> Ich denke immer noch im "reellen Zeichnen einer Funktion"
>
>
> Ich hab nur das Intervall gesehen, dachte dann an die
> x-Achse, und daran, wie gewohnt die zu den
> Intervall-Punkten gehörigen berechneten Werte direkt
> oberhalb der Punkte (in entsprechender Höhe) abzutragen...
>
> Aber das geht ja gar nicht, ich bilde ja gar nicht in den
> [mm]\IR[/mm] ab, sondern in den [mm]\IR^2...[/mm]
>
> Wie stelle ich mir das am besten graphisch vor?
>
> Soll ich ein Koordinatensystem nehmen für den
> Definitionsbereich (weil wir ja in [mm]\IC[/mm] sind, auch wenn ich
> gerade ja nur einen Teil der reellen Achse betrachte) und
> daneben noch ein eins für den Wertebereich?
Naja, das mit der Vorstellung ist so eine Sache: was mir einfach erscheint, mag dir merkwürdig vorkommen und umgekehrt.
Vielleicht hilft dir diese Vorstellung weiter: Betrachte die Kurve im [mm] $\IR^2$ [/mm] als einen Weg, den ein Fußgänger in einer Ebene zurücklegt, und den Parameter t als die Uhrzeit.
Verschiedene Parametrisierungen bedeuten dann, dass der Fußgänger an den verschiedenen Stellen des Weges unterschiedlich schnell geht, aber immer denselben Weg zurücklegt.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Mi 16.07.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
Über so eine Vorstellung habe ich noch garnicht nachgedacht.
Wahrscheinlich, weil es in unserer Vorlesung so in der Art nicht dargestellt wurde, und auch im Buch nicht.
Vielen Dank auf jeden Fall.
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:56 Mi 18.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Worum es in dieser Aufgabe eigentlich geht, ist das
> Integral über den Halbkreis.
>
> Dabei soll die Funktion f(z)=|z| integriert werden.
>
> Das Kurvenintegral bekomme ich auch hin:
>
> [mm]\integral_{\gamma}^{ }{f(z) dz}[/mm]
> [mm]= \integral_{\gamma}^{ }{|z| dz}[/mm]
> [mm]= \integral_{0}^{\pi}{1*\gamma '(t) dt}[/mm]
> [mm]= \integral_{0}^{\pi}{1*(-i)*e^{i\pi-it} dt}[/mm]
> [mm]= (-i)*[-\bruch{1}{-i}*e^{i\pi-it}]^{\pi}_0[/mm]
Vorsicht: hier hast du ein Minuszeichen zu viel. Da es aber in der folgenden Zeile wieder weg ist, ist es wohl ein Tippfehler.
> [mm]= \gamma(\pi)-\gamma(0)[/mm]
Dieses Ergebnis kannst du auch direkt aus
[mm] \integral_{0}^{\pi}{1*\gamma '(t) dt} = \integral_{0}^{\pi}{\gamma '(t) dt} = \gamma(\pi)-\gamma(0)[/mm]
ableiten 
> [mm]= 1 - (-1)[/mm]
> [mm]=2[/mm]
> Jetzt wird allerdings noch mit dem Intergal über die
> Strecke [-1,1] verglichen.
>
> Jetzt steh ich schon wieder auf'm Schlauch mit meinen
> Intervallen... Warum vergleiche ich nicht mit dem Intervall
> [mm][0,\pi]?[/mm]
>
> Weil im Buch steht, dass dieses Beispiel zeigen soll, dass
> Kurvenintegrale im Allgemeinen nicht nur von Anfangs- und
> Endpunkt des Integrationsweges abhängen.
>
> Aber Anfangs- und Endpunkt sind doch nicht gleich, einmal
> -1 und 0 und einmal 1 und [mm]\pi[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
> Oder ist das wieder das gleiche wie in deiner anderen
> Antwort?
Es geht hier immer um das Integral entlang eines Weges in der komplexen Ebene. Das wird immer nach der Formel
[mm] \integral_\gamma f(z) dz= \integral_{t_{\text{Anfang}}}^{t_{\text{Ende}}} f(\gamma(t)) \gamma'(t) dt [/mm]
ausgerechnet.
In dem ersten Integral ist das der Halbkreis vom Punkt +1 zum Punkt -1. Im zweiten Integral ist es die gerade Strecke vom Punkt +1 zum Punkt -1.
Um dieses Integral auszurechnen, nimmt man sich eine differenzierbare Parametrisierung der Kurve. Im Falle des Halbkreises ist das
[mm] \gamma_{\text{Halbkreis}}(t) = e^{i\pi-it} [/mm], [mm]t\in [0,\pi][/mm].
Wenn t das Intervall [mm] $[0,\pi]$ [/mm] durchläuft, bewegt sich der Punkt [mm] $z=e^{i\pi-it}$ [/mm] im Gegenuhrzeigersinn den Halbkreis entlang.
Im Fall der geraden Strecke muust du eine Parametrisierung der Strecke vom +1 bis -1 nehmen. Zunächst einmal gilt, dass sich das Vorzeichen des Integrals umdreht, wenn ich die Strecke in die entgegengesetzte Richtung durchlaufe. Deswegen wird hier das Integral von -1 bis +1 berechnet und danach das Vorzeichen gedreht.
Die einfachste Parametrisierung dieser Strecke ist dann
[mm] \gamma_{\text{Strecke}}(t) = t [/mm], [mm]t\in [-1,+1][/mm].
Dann ist [mm] $\gamma'_{\text{Strecke}}(t) [/mm] = 1$.
> Die haben das so dann auf jeden Fall so gemacht:
>
> [mm]\integral_{[-1,1]}^{ }{|z| dz}=\integral_{-1}^{1}{|t| dt}=1[/mm]
Das ist die Formel für das Integral über die Kurve [mm] $\gamma_{\text{Strecke}}$:
[/mm]
[mm]\integral_{[-1,1]}^{ }{|z| dz} = \integral_{-1}^{1} |\gamma_{\text{Strecke}}(t)|*\gamma'_{\text{Strecke}}(t) dt = \integral_{-1}^{1} |t| dt[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Do 19.06.2008 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Rainer!
> In dem ersten Integral ist das der Halbkreis vom Punkt +1
> zum Punkt -1. Im zweiten Integral ist es die gerade Strecke
> vom Punkt +1 zum Punkt -1.
Heißt das, dass ich nicht das Ausgangsintervall betrachten muss, sondern das, was nachher quasi als Abbildung raus kommt?
> Um dieses Integral auszurechnen, nimmt man sich eine
> differenzierbare Parametrisierung der Kurve. Im Falle des
> Halbkreises ist das
>
> [mm]\gamma_{\text{Halbkreis}}(t) = e^{i\pi-it} [/mm], [mm]t\in [0,\pi][/mm].
>
> Wenn t das Intervall [mm][0,\pi][/mm] durchläuft, bewegt sich der
> Punkt [mm]z=e^{i\pi-it}[/mm] im Gegenuhrzeigersinn den Halbkreis
> entlang.
>
> Im Fall der geraden Strecke muust du eine Parametrisierung
> der Strecke vom +1 bis -1 nehmen. Zunächst einmal gilt,
> dass sich das Vorzeichen des Integrals umdreht, wenn ich
> die Strecke in die entgegengesetzte Richtung durchlaufe.
> Deswegen wird hier das Integral von -1 bis +1 berechnet und
> danach das Vorzeichen gedreht.
>
> Die einfachste Parametrisierung dieser Strecke ist dann
>
> [mm]\gamma_{\text{Strecke}}(t) = t [/mm], [mm]t\in [-1,+1][/mm].
>
> Dann ist [mm]\gamma'_{\text{Strecke}}(t) = 1[/mm].
>
> > Die haben das so dann auf jeden Fall so gemacht:
> >
> > [mm]\integral_{[-1,1]}^{ }{|z| dz}=\integral_{-1}^{1}{|t| dt}=1[/mm]
>
> Das ist die Formel für das Integral über die Kurve
> [mm]\gamma_{\text{Strecke}}[/mm]:
>
> [mm]\integral_{[-1,1]}^{ }{|z| dz} = \integral_{-1}^{1} |\gamma_{\text{Strecke}}(t)|*\gamma'_{\text{Strecke}}(t) dt = \integral_{-1}^{1} |t| dt[/mm].
Oh nein!!! Ich habe schon fast sowas geahnt.
Ich verstehe diesen Kram mit der Parametrisierung schon seit Analysis I nicht, und habe mich bisher so gut es ging drum gedrückt...
Mein Problem ist, dass ich weder Sinn noch Prinzip von diesen Parametertransformationen verstehe.
Wozu ist das gut? Wofür brauch ich das?
Und mit der Definition hier im Buch (surjektive stückweise stetige Abbildung) kann ich auch genau gar nix anfangen...
:edit:
Eine kleine Idee von mir:
Macht eine Parametertransformation folgendes:
Ich habe eine Funktion über einem Definitionsbereich (z.B. ein Intervall).
Nun will ich GENAU DIESE Funktion über einem anderen Definitionsintervall definieren,
es soll aber weiterhin DERSELBE Graph bei rauskommen.
Also muss ich auch die Definitionsvorschrift ändern.
Ist DAS eine Parametertransformation?
Es wär echt super lieb von dir, wenn du mir das vielleicht ein bisschen näher bringen könntest... ![[verlegen]](/images/smileys/verlegen.gif "[verlegen]")
Hmm, vielleicht hättest du ein Beispiel?
Hier im Buch hab ich nur die Definition und dann noch irgendwelche Sätze, aber von einem Beispiel keine Spur ![[grummel]](/images/smileys/grummel.gif "[grummel]") ... doofes Buch ...
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Do 19.06.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> Hallo Rainer!
>
> > In dem ersten Integral ist das der Halbkreis vom Punkt +1
> > zum Punkt -1. Im zweiten Integral ist es die gerade Strecke
> > vom Punkt +1 zum Punkt -1.
>
> Heißt das, dass ich nicht das Ausgangsintervall betrachten
> muss, sondern das, was nachher quasi als Abbildung raus
> kommt?
Bei Kurvenintegralen kommt es eigentlich nur auf den Weg, die Kurve an. Die Parametrisierung ist eine Methode, um es auszurechnen. (Natürlich gehört dazu dann auch, dass unterschiedliche Parametrisierungen zum selben Ergebnis führen, was bewiesen werden muss. Aber das können wir hier einfach als gegeben annehmen.)
> Ich verstehe diesen Kram mit der Parametrisierung schon
> seit Analysis I nicht, und habe mich bisher so gut es ging
> drum gedrückt...
>
> Mein Problem ist, dass ich weder Sinn noch Prinzip von
> diesen Parametertransformationen verstehe.
> Wozu ist das gut? Wofür brauch ich das?
Hmm, nimm mal folgende Beispiele:
Du fährst mit dem Auto von A nach B. Hierzulande haben wir Kilometersteine, in USA Meilensteine. Unabhängig davon, wie ich messe, ist es doch derselbe Weg. 1609 Meter oder 1 Meile kannst du als unterschiedliche Parametrisierungen des Weges ansehen. Die Transformation ist einfach: mal 1,609. Aber jetzt stell dir vor, dass der Meilenstein mit Markierung 0 woanders steht als der Kilometerstein mit Markierung 0; dann musst du auch noch deren Abstand dazuaddieren. Fertig ist die Parametertransformation.
Jetzt willst du aber die Fahrt nicht durch die zurückgelegte Entfernung, sondern durch die Zeit seit Abfahrt. Das Auto fährt aber nicht immer gleich schnell. Also hast du eine Umrechnungsfunktion zwischen zurückgelegter Entfernung und vergangener Zeit. Und schon hast du eine andere, sogar nichtlineare Parametertransformation.
Anderes Beispiel:
Nimm dir einen Globus und eine Deutschlandkarte. Deutschland sieht unterschiedlich aus, weil unterschiedliche Projektionen vorliegen. Anders ausgedrückt: unterschiedliche Parametrisierungen der Fläche "Deutschland". Einmal in Winkeln auf der Kugeloberfläche (Globus), einmal als Längen im kartesischen Koordinatensystem.
> Und mit der Definition hier im Buch (surjektive stückweise
> stetige Abbildung) kann ich auch genau gar nix anfangen...
OK, nehmen wir die Definition auseinander:
Abbildung: Parameterintervall auf Kurve
surjektiv: Jeder Punkt der Kurve kommt vor
stetig: ich kann die Kurve mit einem Bleistift malen, ohne abzusetzen
Stückweise stetig: OK, nicht ganz, ich zerlege die Kurve in mehrere Teile, die ich malen kann ohne abzusetzen
> :edit:
> Eine kleine Idee von mir:
> Macht eine Parametertransformation folgendes:
> Ich habe eine Funktion über einem Definitionsbereich (z.B.
> ein Intervall).
> Nun will ich GENAU DIESE Funktion über einem anderen
> Definitionsintervall definieren,
> es soll aber weiterhin DERSELBE Graph bei rauskommen.
> Also muss ich auch die Definitionsvorschrift ändern.
> Ist DAS eine Parametertransformation?
Ja. Siehe die Autofahrt oben.
Viele Grüße
Rainer
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![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]"){kind=small}
