Ober- und Untersumme < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Do 03.07.2008 | | Autor: | can19 |
| Aufgabe | Ober und Untersummen
[mm] O_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_k)} (x_k [/mm] - [mm] x_k_-1)
[/mm]
[mm] U_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_k_-1)} (x_k [/mm] - [mm] x_k_-1)
[/mm]
der Funktion {f(x)} = [mm] x^2 [/mm] : [0,1] für die Wahl der Stützstellen [mm] x_k [/mm] = [mm] \bruch{k}{n}. [/mm] schliessen sie daraus, dass f auf [0,1] Riemann integrierbar ist und berechnen sie den wert des Riemann Integrals ohne verwendung von Stammfunktionen. |
damit f riemann integrierbar ist, muss ober und unterintegral existieren und gleich sein...
ich weiß aber nicht wie ich die ober und untersummen berechnen soll..stehe etwas auf dem schlauch...wäre für eine hilfe sehr dankbar!!
mfg
can19
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Ober und Untersummen
> [mm]O_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_k)} (x_k[/mm] - [mm]x_k_-1)[/mm]
> [mm]U_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_k_-1)} (x_k[/mm] - [mm]x_k_-1)[/mm]
> der Funktion {f(x)} = [mm]x^2[/mm] : [0,1] für die Wahl der
> Stützstellen [mm]x_k[/mm] = [mm]\bruch{k}{n}.[/mm] schliessen sie daraus,
> dass f auf [0,1] Riemann integrierbar ist und berechnen sie
> den wert des Riemann Integrals ohne verwendung von
> Stammfunktionen.
> damit f riemann integrierbar ist, muss ober und
> unterintegral existieren und gleich sein...
> ich weiß aber nicht wie ich die ober und untersummen
> berechnen soll.
Hallo,
ich finde es fast wichtiger, daß Du weißt, was eine Obersumme und Untersumme ist.
Mal Dir doch erstmal das Intervall [0,1] schön groß auf, sagen wir 10cm lang.
Nun nehmen wir n=10 und teilen das Intervall in 10 gleiche Teile der Länge [mm] \bruch{1}{10}. [/mm] Zeichne [mm] x_k=\bruch{k}{10} [/mm] für k=0,...,10 ein.
Gib der Zeichnung noch eine y-Achse, zeichne den Graphen von f über dem Intervall ein, und dann die Ober- und Untersumme.
Wenn Du Letzteres nicht kannst, schau mal in ein Schulbuch, im Internet dürftest Du auch Bilder finden.
Dann berechne mal [mm] O_{10} [/mm] und [mm] U_{10}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:00 Do 03.07.2008 | | Autor: | can19 |
ja wie die man ober und untersumme berechnet weis ich ja... aber ich dachte laut der aufgabenstellung muss ich die ober und untersummen nach den riemann definition berechnen und nicht wie in der schulmathemathik..
oder sehe ich das falsch??
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> die ober
> und untersummen nach den riemann definition
Hallo,
was meinst Du damit?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Do 03.07.2008 | | Autor: | can19 |
$ [mm] O_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_k)} (x_k [/mm] $ - $ [mm] x_k_-1) [/mm] $
$ [mm] U_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_k_-1)} (x_k [/mm] $ - $ [mm] x_k_-1) [/mm] $
für [mm] x^2 [/mm]
steht dann : [mm] O_n:=\sum_{k=1}^{n}\bruch{k^2}{n^2}(\bruch{k}{n}-\bruch{k-1}{n}) [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{n}\bruch{k^2}{n^2}(\bruch{-1}{n}) [/mm] =.....
oder ??
so in etwa aber ich komme nicht weiter
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> [mm]O_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_k)} (x_k[/mm] - [mm]x_k_-1)[/mm]
> [mm]U_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_k_-1)} (x_k[/mm] - [mm]x_k_-1)[/mm]
>
> für [mm]x^2[/mm]
> steht dann :
> [mm]O_n:=\sum_{k=1}^{n}\bruch{k^2}{n^2}(\bruch{k}{n}-\bruch{k-1}{n})[/mm]
> = [mm]\sum_{k=1}^{n}\bruch{k^2}{n^2}(\bruch{\red{-1}}{n})[/mm] =.....
>
> oder ??
> so in etwa aber ich komme nicht weiter
Hallo,
das rote Minus ist verkehrt, aber ansonsten stimmt's.
Es ist ja n konstant, Du kannst also [mm] \bruch{1}{n³} [/mm] vor die Summe ziehen.
Die verbleibende Summe hast Du bestimmt schonmal ausgerechnet.
Nun den Grenzwert für [mm] n\to \infty, [/mm] damit hast Du das Oberintegral.
Das Unterintegral analog.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:09 Do 03.07.2008 | | Autor: | can19 |
hey
vielen vielen dank!!
habs glaub ich dank dir verstanden!!!!
ich stand aufm schlauch!!!
dankeschön für die mühe!!
vlg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:35 Do 03.07.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
nimm einfach die Definition der Funktion [mm] f(x_k) [/mm] und die von [mm] x_k [/mm] dann folgt
[mm] O_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_k)} (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^{n} {\left(\bruch{k}{n}\right)^2}\bruch{1}{n}=\bruch{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n} k^2
[/mm]
und für [mm] U_n [/mm] gilt
[mm] U_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_{k-1})} (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^{n} {\left(\bruch{k-1}{n}\right)^2}\bruch{1}{n}=\bruch{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n} (k-1)^2=\bruch{1}{n^3}\sum_{k=1}^{n-1} k^2
[/mm]
Für [mm] \sum_{k=1}^{n} k^2 [/mm] gilt
[mm] \sum_{k=1}^{n} k^2=\bruch{n}{6}(n+1)(2n+1)
[/mm]
Ausrechnen und [mm] {n\rightarrow\infty} [/mm] gehen lassen zeigt, das [mm] O_n [/mm] und [mm] U_n [/mm] den gleichen Grenzwert haben und das das Ergebnis [mm] \bruch{1}{3} [/mm] ist. Damit ist alles gezeigt.
mfg Ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 Do 03.07.2008 | | Autor: | can19 |
vielen vielen dank...hab die aufgabe jetzt verstanden...
danke für deine mühe
lg
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> Ober und Untersummen
> [mm]O_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_k)} (x_k[/mm] - [mm]x_k_-1)[/mm]
> [mm]U_n:=\sum_{k=1}^{n} {f(x_k_-1)} (x_k[/mm] - [mm]x_k_-1)[/mm]
> der Funktion {f(x)} = [mm]x^2[/mm] : [0,1] für die Wahl der
> Stützstellen [mm]x_k[/mm] = [mm]\bruch{k}{n}.[/mm] schliessen sie daraus,
> dass f auf [0,1] Riemann integrierbar ist und berechnen sie
> den wert des Riemann Integrals ohne verwendung von
> Stammfunktionen.
> damit f riemann integrierbar ist, muss ober und
> unterintegral existieren und gleich sein...
Bemerkung:
Damit feststeht, dass die [mm] O_n [/mm] wirklich Ober- und die [mm] U_n [/mm]
Untersummen des Integrals sind, müsste man wohl noch ein
Argument einbringen, das zeigt, dass [mm] U_n \le \integral _{0}^{1}x^2\ [/mm] dx [mm] \le O_n [/mm]
sein muss, mit anderen Worten die Eigenschaft, dass f im Integrations-
intervall monoton wachsend ist !
Falls man auf diese Eigenschaft bei dem Beweis einfach verzichtet,
kann man leicht eine Funktion [mm] \bar{f} [/mm] angeben, die zwar die genau gleichen
"Obersummen" [mm] O_n [/mm] und "Untersummen" [mm] U_n [/mm] wie f besitzt (für alle n [mm] \in \IN [/mm] ),
aber nicht Riemann-integrierbar ist und damit den Beweis hinfällig macht, nämlich:
[mm]\ \bar{f}(x)=\begin {cases} x^2\ ,\quad x \in \IQ \\ 0\ ,\quad x \in \IR \backslash \IQ} \end{cases}[/mm]
(die [mm] U_n [/mm] wären in diesem Fall keine wirklichen Untersummen !)
LG al-Chw.
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