Ober- und Untersumme < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 So 27.04.2008 | | Autor: | UE_86 |
| Aufgabe | Man wähle eine geeignete Folge von Zerlegungen des Intervalls [0, b] und berechne dazu jeweils die Unter- bzw. Obersummen für die Funktion f(x) = [mm] \bruch{1}{4}x^{2}. [/mm]
Weiter berechne man den Grenzwert dieser Summen, falls die Feinheit dieser Zerlegung gegen Null geht.
Hinweis: Man benutze folgende Formel:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i^{2} [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] |
Hallo zusammen,
beim lösen meiner Mathe-Sachen, bleibe ich bei dieser Aufgabe hängen.
Wir haben zwar eine ähnliche in der Übung besprochen, aber irgendwie kann ich in der Lösung dieser den Wald vor lauter Bäumen nicht sehen.
Ich komme hier nicht auf die Ansätze zur berechnung der Ober- und Untersumme.
Der Rest ist dann ja nicht das Problem 
Schonmal Vielen Dank an jenen, der meinen Sonntag retten möchte :-D
MFG
UE
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Betrachten wir zunächst die Untersumme:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun musst du folgende Überlegungen anstellen:
Das Intervall [0,b] ist b breit. Wenn ich es nun in n Teile teile, hat jeder entstehende Flächenstreifen die Breite [mm] \bruch{b}{n}.
[/mm]
Nun ist die Frage, wie hoch jeder Flächenstreifen bei der Untersumme ist. Dazu solltest du dir das obige Bild noch einmal anschauen: Jeder Flächenstreifen, der bei einem Wert a beginnt, hat die Höhe f(a) = [mm] \bruch{1}{4}*a^{2}.
[/mm]
D.h. deine Untersumme stellt sich wie folgt zusammen:
Erster Flächenstreifen ganz links: [mm] \underbrace{\bruch{b}{n}}_{Breite}*\underbrace{\bruch{1}{4}*(0)^{2}}_{Hoehe} [/mm] = 0.
Zweiter Flächenstreifen: [mm] \underbrace{\bruch{b}{n}}_{Breite}*\underbrace{\bruch{1}{4}*\left(\bruch{b}{n}\right)^{2}}_{Hoehe}.
[/mm]
Dritter Flächenstreifen: [mm] \underbrace{\bruch{b}{n}}_{Breite}*\underbrace{\bruch{1}{4}*(\bruch{b}{n}*2)^{2}}_{Hoehe}.
[/mm]
...
Vorletzter Flächenstreifen: [mm] \underbrace{\bruch{b}{n}}_{Breite}*\underbrace{\bruch{1}{4}*\left(\bruch{b}{n}*(n-2)\right)^{2}}_{Hoehe}.
[/mm]
Letzter Flächenstreifen: [mm] \underbrace{\bruch{b}{n}}_{Breite}*\underbrace{\bruch{1}{4}*\left(\bruch{b}{n}*(n-1)\right)^{2}}_{Hoehe}.
[/mm]
Insgesamt ergibt sich, wenn wir alle Flächenstreifen aufsummieren, die allgemeine Summe
[mm] \summe_{k=0}^{n-1}\left(\underbrace{\bruch{b}{n}}_{Breite}*\underbrace{\bruch{1}{4}*\left(\bruch{b}{n}*k\right)^{2}}_{Hoehe}\right).
[/mm]
Diese gilt es auszuwerten, dann hast du die Untersummenformel fertig. Du kannst alle konstanten Faktoren aus der Summe herausziehen, übrig bleibt [mm] k^{2}. [/mm] Darauf musst du dann die dir angegebene Formel anwenden.
Probiere dasselbe bei der Obersumme.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 27.04.2008 | | Autor: | UE_86 |
Ich glaube jetzt hab ich es.
Dann ist die Formel der Obersumme, im Prinzip die gleiche, nur dass wir bei den Flächenstreifen nicht den Teil unter dem Graphen betrachten (also nach rechts schauen - n-1) sondern den Teil über den Graphen (also nach links schauen - n).
Dann lautet die Formel doch:
[mm] \summe_{k=0}^{n}\left(\underbrace{\bruch{b}{n}}_{Breite}\cdot{}\underbrace{\bruch{1}{4}\cdot{}\left(\bruch{b}{n}\cdot{}k\right)^{2}}_{Hoehe}\right)
[/mm]
Jetzt ergibt auch alles wieder Sinn
Schonmal vielen Dank
UE
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Soweit richtig, nur beginnt die Summe genau genommen bei k = 1.
(Weil der erste Flächenstreifen nicht die Höhe f(0), sondern schon die Höhe f(b/n*1) hat.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 So 27.04.2008 | | Autor: | UE_86 |
Kannst du mal bitte drüberschauen. Ich bin mir hier nicht ganz sicher:
[mm] S_{u} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{b}{n} [/mm] * [mm] (\bruch{b}{n} [/mm] * [mm] k)^{2} [/mm] * [mm] \bruch{1}{4} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * [mm] \bruch{b^{3}}{n^{3}} \summe_{k=0}^{n-1} k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{b^{3}}{4n^{3}} \summe_{k=1}^{n-1}k^{2} [/mm] = [mm] \bruch{b^{3}}{4n^{3}} [/mm] * [mm] \bruch{n-1(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6}
[/mm]
So nach ein wenig rumprobieren hab ich hier nun
[mm] \bruch{1}{24}\bruch{b^{3}(2n^{3}-4n^{2}+2n+1)}{n^{3}}
[/mm]
Kann ich das soweit lassen? Oder kann ich das noch weiter vereinfachen bzw. hab ich hier sogar einen Fehler gemacht?
MFG
UE
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 So 27.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo UE_86!
> = [mm]\bruch{b^{3}}{4n^{3}} \summe_{k=1}^{n-1}k^{2}[/mm] = [mm]\bruch{b^{3}}{4n^{3}}[/mm] * [mm]\bruch{n-1(n-1+1)(2(n-1)+1)}{6}[/mm]
Aufpassen: Du musst auf dem Bruch Klammern setzen:
$$... \ = \ [mm] \bruch{b^3}{4*n^3}*\bruch{\red{(}n-1\red{)}*n*(2n-1)}{6}$$
[/mm]
> So nach ein wenig rumprobieren hab ich hier nun
> [mm]\bruch{1}{24}\bruch{b^{3}(2n^{3}-4n^{2}+2n+1)}{n^{3}}[/mm]
Im Zähler musst Du Dich etwas vertan haben (auch wenn es am Endergebnis nichts ändert. Ich habe erhalten:
$$... \ = \ [mm] \bruch{b^3}{24}*\bruch{2n^3-3n^2-2n^2+n}{n^3}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:40 So 27.04.2008 | | Autor: | UE_86 |
Alles klar!
Aufgabe gelöst und verstanden 
Vielen Dank euch beiden und noch n schönen Sonntag
MFG
UE
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