Ober-, Untersumme + Grenzwert < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie Un und On für die Funktion f über dem Intervall I. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n --> [mm] \infty?
[/mm]
f(x) = x +1, I [0;1]
Benötigte Summenformel: 1 + 2 + ... + n = [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] , [mm] 1^2 [/mm] + [mm] 2^2 [/mm] + ... + [mm] n^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n + 1)}{6} [/mm] |
Habe die Frage bereits gegooglet bin jedoch auf Summenzeichen gestoßen und sonstige Terme, die ich noch nicht kenne.
Integralrechnung haben wir ebenfalls noch nicht angefangen, sollen aber diese Aufgabe lösen mit der benötigten Summenformel. Jedoch ist mir einfach nicht klar wie diese Summenformel funktioniert.
Konkrete Fragen:
Wieso beginnt die Summenformel mit "1 + 2 (woher 1 und 2?) + ...(? was soll das ... aussagen?)?
Wie lässt sich der letzte Schritt der ersten Summenformel erklären, in welchem man plötzlich + n rechnet und dann auf diesen Bruch kommt? Der Bruch an sich ergibt in meinem Kopf auch keinen Sinn.
Ansätze:
Soweit ich es verstanden habe, muss man die Intervalle auf die Anzahl n festlegen, um so das exakteste Ergebnis zu haben.
Wäre sehr froh, wenn mir das jemand ausführlich erklären könnte. Die Berechnung von Un/On ohne "n" ist mir bekannt, also indem man die Abstände der Streifen (Streifenmodell) einfach beliebig einteilt und dann errechnet.
Danke schonmal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
hier geht es wohl hauptsächlich darum, eine Schreibweise zu verstehen.
> Berechnen Sie Un und On für die Funktion f über dem
> Intervall I. Welcher Grenzwert ergibt sich jeweils für n
> --> [mm]\infty?[/mm]
>
> f(x) = x +1, I [0;1]
>
> Benötigte Summenformel: 1 + 2 + ... + n =
> [mm]\bruch{n(n+1)}{2}[/mm] , [mm]1^2[/mm] + [mm]2^2[/mm] + ... + [mm]n^2[/mm] =
> [mm]\bruch{n(n+1)(2n + 1)}{6}[/mm]
>
>
>
> Habe die Frage bereits gegooglet bin jedoch auf
> Summenzeichen gestoßen und sonstige Terme, die ich noch
> nicht kenne.
Die sind zwar praktisch, aber man kann hier auch ganz gut ohne sie leben.
> Integralrechnung haben wir ebenfalls noch nicht angefangen,
> sollen aber diese Aufgabe lösen mit der benötigten
> Summenformel. Jedoch ist mir einfach nicht klar wie diese
> Summenformel funktioniert.
>
> Konkrete Fragen:
> Wieso beginnt die Summenformel mit "1 + 2 (woher 1 und 2?)
> + ...(? was soll das ... aussagen?)?
Die beiden Formeln besagen dieses:
1) Wenn man die natürlichen Zahlen von 1 bis n addiert (das ist einfach mal die gegebene Fragestellung), erhält man eine Summe, die gleich [mm] \bruch{n(n+1)}{2} [/mm] ist.
Probiers mal aus. Für n=5 z.B. ist [mm] 1+2+3+4+5=15=\bruch{5*6}{2}
[/mm]
2) Das gleiche für Quadrate: wenn man die Quadrate der natürlichen Zahlen von 1 bis n addiert, ist die Summe gleich [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}.
[/mm]
Auch hier ein Test, mit n=6: [mm] 1+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2=1+4+9+16+25+36=91=\bruch{6*7*13}{6}
[/mm]
> Wie lässt sich der letzte Schritt der ersten Summenformel
> erklären, in welchem man plötzlich + n rechnet
Das ist gar kein einzelner Schritt. Die Punkte stehen nur für "usw.", und die Summierung soll eben bis n gehen. Die linke Seite ist die Aufgabe (summiere von 1 bis n), die rechte die Lösung.
> und dann
> auf diesen Bruch kommt? Der Bruch an sich ergibt in meinem
> Kopf auch keinen Sinn.
Man kann diese Formeln beweisen, aber das ist ja gerade nicht das Thema. Nimm sie einfach als gegeben. Du brauchst sie für diese Aufgabe.
> Ansätze:
> Soweit ich es verstanden habe, muss man die Intervalle auf
> die Anzahl n festlegen, um so das exakteste Ergebnis zu
> haben.
Man untersucht die Ober- und Untersumme, wenn man das zu betrachtende Gesamtintervall in n Teile geteilt hat. Danach erst schaut man sich an, was passiert, wenn dieses n immer größer wird, also die Streifen immer schmaler werden.
> Wäre sehr froh, wenn mir das jemand ausführlich erklären
> könnte. Die Berechnung von Un/On ohne "n" ist mir bekannt,
> also indem man die Abstände der Streifen (Streifenmodell)
> einfach beliebig einteilt und dann errechnet.
Grüße
reverend
|
|
|
|
