ONB zu U und U senkrecht < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Di 07.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | | Es sei U [mm] \subset \IR^5 [/mm] der von den Vektoren [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] aufgespannten Unterraum. Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U und [mm] U^{\perp} [/mm] |
Servus,
also die ONB von U ist ist klar. Die mach ich über Gram-Schmidt.
Bei [mm] U^{\perp} [/mm] bin ich mir nicht ganz sicher. Ich würde es jetzt so machen:
Seien [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] die beiden Vektoren aus der Aufgabenstellung.
Die habe ich ja über Gram Schmidt ja schon orthonormalisiert, die ich [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] nenne.
Wenn ich jetzt [mm] u_1, u_2 [/mm] mit 3 Einheitsvektoren ergänze (sagen wir [mm] e_1, e_2, e_3) [/mm] kriege ich doch eine Basis zu [mm] U^{\perp}, [/mm] denn [mm] U+U^{\perp}=\IR?
[/mm]
Und dann führe ich Gram Schmidt mit den 5 Vektoren [mm] (u_1, u_2, e_1, e_2, e_3) [/mm] nochmal durch, wodurch ich dann eine orthonormale Basis erhalte.
Ist meine Überlegung richtig? Zumindest habe ich das auch unserem Skript so abgeleitet.
/e: Oder ist es so:
[mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sind ja die ONB von U.
Dann ist [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] eine Basis von [mm] U^{\perp}, [/mm] denn [mm] U+U^{\perp}=V.
[/mm]
Muss ich dann nur [mm] e_1, e_2, e_3 [/mm] orthonormalisieren, was sich dann ja erübrigt, denn das sind sie ja schon.
Bin etwas verwirrt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:24 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Es sei U [mm]\subset \IR^5[/mm] der von den Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm] aufgespannten Unterraum.
> Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U und [mm]U^{\perp}[/mm]
>
> Servus,
>
> also die ONB von U ist ist klar. Die mach ich über
> Gram-Schmidt.
>
> Bei [mm]U^{\perp}[/mm] bin ich mir nicht ganz sicher. Ich würde es
> jetzt so machen:
> Seien [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] die beiden Vektoren aus der
> Aufgabenstellung.
> Die habe ich ja über Gram Schmidt ja schon
> orthonormalisiert, die ich [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] nenne.
>
> Wenn ich jetzt [mm]u_1, u_2[/mm] mit 3 Einheitsvektoren ergänze
> (sagen wir [mm]e_1, e_2, e_3)[/mm] kriege ich doch eine Basis zu
> [mm]U^{\perp},[/mm] denn [mm]U+U^{\perp}=\IR?[/mm]
[mm] $U+U^{\perp}$ [/mm] sollte schon der ganze [mm] $\IR^5$ [/mm] sein!
Meinst du mit [mm] $(e_1, e_2, e_3)$ [/mm] die kanonischen Einheitsvektoren?
Falls ja, dann stimmt das nicht im allgemeinen. Es kann doch sein dass [mm] $e_1, e_2$ [/mm] oder [mm] $e_3$ [/mm] nicht in [mm] $U^{\perp}$ [/mm] liegen, oder sogar selbst in U liegen. Z.B. liegt [mm] $e_1$ [/mm] sicher nicht in [mm] $U^{\perp}, [/mm] denn das Skalarprodukt [mm] $ [/mm] = 1 [mm] \not=0$. [/mm]
Was du tun kannst, ist, nacheinander die [mm] $e_i$ [/mm] nehmen und sie zur Basis [mm] $u_1, u_2$ [/mm] hinzufügen und dabei immer den Gram-Schmidt-Algorithmus anwenden. So bekommst du eine ONB des gesamten [mm] $\IR^5$. [/mm] Die drei Vektoren, die dabei zu [mm] $u_1, u_2$ [/mm] hinzukommen, bilden dann eine Basis von [mm] $U^{\perp}$. [/mm] Beachte, dass es dabei im Allgemeinen nicht ausreicht, nur die ersten drei kanonischen Basisvekoren zu betrachten, denn es kann ja sein, dass einer dieser Vektoren im Unterraum liegt, der von den zuvor bestimmten Basiselementen aufgespannt wird. Das macht sich dann so bemerkbar, dass du bei Anwendung des Gram-Schmidt-Algorithmus den Nullvektor erhälst. Das ist jedoch kein Problem, überspringe einfach den betreffenden Basisvektor und gehe zum nächsten weiter. Es kann also sein, dass du alle Basisvektoren bei [mm] $e_5$ [/mm] betrachten musst.
Was dir die Arbeit sehr erleichtern kann, ist, dass du durch schlaues hinschauen Vektoren erkennst, die in [mm] $U^{\perp}$ [/mm] liegen, also solche, deren Skalarprodukt mit beiden angegebenen Vektoren 0 ist, hier z.B.
[mm] $\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}$, \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ -1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 }$
[/mm]
usw.
Füge die so gefundenen Vektoren zu deiner Basis [mm] $(u_1, u_2)$ [/mm] jeweils unter Verwendung von Gram-Schmidt- Algorithmus hinzu, es wird dadurch einfacher.
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:39 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Sup |
> Nabend,
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> > Es sei U [mm]\subset \IR^5[/mm] der von den Vektoren [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 2 \\ 0}[/mm]
> > und [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm] aufgespannten Unterraum.
> > Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U und [mm]U^{\perp}[/mm]
> >
> > Servus,
> >
> > also die ONB von U ist ist klar. Die mach ich über
> > Gram-Schmidt.
> >
> > Bei [mm]U^{\perp}[/mm] bin ich mir nicht ganz sicher. Ich würde es
> > jetzt so machen:
> > Seien [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] die beiden Vektoren aus der
> > Aufgabenstellung.
> > Die habe ich ja über Gram Schmidt ja schon
> > orthonormalisiert, die ich [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] nenne.
> >
> > Wenn ich jetzt [mm]u_1, u_2[/mm] mit 3 Einheitsvektoren ergänze
> > (sagen wir [mm]e_1, e_2, e_3)[/mm] kriege ich doch eine Basis zu
> > [mm]U^{\perp},[/mm] denn [mm]U+U^{\perp}=\IR?[/mm]
>
> [mm]U+U^{\perp}[/mm] sollte schon der ganze [mm]\IR^5[/mm] sein!
Ja da ist mir diePotenz abhanden gekommen.
> Meinst du mit [mm](e_1, e_2, e_3)[/mm] die kanonischen
> Einheitsvektoren?
> Falls ja, dann stimmt das nicht im allgemeinen. Es kann
> doch sein dass [mm]$e_1, e_2$[/mm] oder [mm]$e_3$[/mm] nicht in [mm]$U^{\perp}$[/mm]
> liegen, oder sogar selbst in U liegen. Z.B. liegt [mm]$e_1$[/mm]
> sicher nicht in [mm]$U^{\perp},[/mm] denn das Skalarprodukt [mm]$[/mm]
> = 1 [mm]\not=0$.[/mm]
> Was du tun kannst, ist, nacheinander die [mm]e_i[/mm] nehmen und sie
> zur Basis [mm]u_1, u_2[/mm] hinzufügen und dabei immer den
> Gram-Schmidt-Algorithmus anwenden. So bekommst du eine ONB
> des gesamten [mm]\IR^5[/mm]. Die drei Vektoren, die dabei zu [mm]u_1, u_2[/mm]
> hinzukommen, bilden dann eine Basis von [mm]U^{\perp}[/mm]. Beachte,
> dass es dabei im Allgemeinen nicht ausreicht, nur die
> ersten drei kanonischen Basisvekoren zu betrachten, denn es
> kann ja sein, dass einer dieser Vektoren im Unterraum
> liegt, der von den zuvor bestimmten Basiselementen
> aufgespannt wird. Das macht sich dann so bemerkbar, dass du
> bei Anwendung des Gram-Schmidt-Algorithmus den Nullvektor
> erhälst. Das ist jedoch kein Problem, überspringe einfach
> den betreffenden Basisvektor und gehe zum nächsten weiter.
> Es kann also sein, dass du alle Basisvektoren bei [mm]e_5[/mm]
> betrachten musst.
Stimmt ist logisch.
> Was dir die Arbeit sehr erleichtern kann, ist, dass du
> durch schlaues hinschauen Vektoren erkennst, die in
> [mm]U^{\perp}[/mm] liegen, also solche, deren Skalarprodukt mit
> beiden angegebenen Vektoren 0 ist, hier z.B.
> [mm]$\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}$, \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ -1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 }$[/mm]
>
> usw.
Dh. heißt jetzt im ganzen:
Man hat U=span [mm] (v_1, v_2), [/mm] was man durch Gram Schmidt zur ONB [mm] U=span(u_1, u_2) [/mm] macht.
Jetzt sucht man sich im Fall das [mm] \IR^5 [/mm] noch 3 weiter Vektoren [mm] v_3, v_4, v_5, [/mm] die zu den ersten beiden [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] (oder zu [mm] u_1, u_2?) [/mm] orthogonal sind.
Die 3 orthonormalisiere ich wieder zu [mm] u_3, u_4, u_5, [/mm] welche dann die ONB zu [mm] U^{\perp} [/mm] sind.
[mm] v_3, v_4, v_5 [/mm] kann ich entweder durch "schlaues Hinschauen" erkennen oder durch durch das homogene LGS Ax=0, wobai A [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] als Zeilenvektoren enthält.
Korekt soweit?
> Füge die so gefundenen Vektoren zu deiner Basis [mm](u_1, u_2)[/mm]
> jeweils unter Verwendung von Gram-Schmidt- Algorithmus
> hinzu, es wird dadurch einfacher.
Du meinst ich soll [mm] u_3, u_4, u_5 [/mm] zur Basis [mm] (u_1, u_2) [/mm] hinzufügen?
Dann erhalte ich ich eine ONB für ganz [mm] \IR^5 [/mm] oder nicht?
Ist halt in der Aufgabe nicht gesucht, aber gut zu wissen 
Dann such ich
> LG Lippel
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> > Nabend,
> >
> > > Es sei U [mm]\subset \IR^5[/mm] der von den Vektoren [mm]\vektor{1 \\
1 \\
2 \\
2 \\
0}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1 \\
1 \\
1}[/mm] aufgespannte
Unterraum.
> > > Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis von U und [mm]U^{\perp}[/mm]
[mm]
[/mm]
> > Was dir die Arbeit sehr erleichtern kann, ist, dass du
> > durch schlaues hinschauen Vektoren erkennst, die in
> > [mm]U^{\perp}[/mm] liegen, also solche, deren Skalarprodukt mit
> > beiden angegebenen Vektoren 0 ist, hier z.B.
> > [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
0 \\
0 \\
0}[/mm], [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, \vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\ 0 \\ -1}, \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0}, \vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \\ 0 }$[/mm]
[/mm]
>
> >
> > usw.
>
> Dh. heißt jetzt im ganzen:
> Man hat U=span [mm](v_1, v_2),[/mm] was man durch Gram Schmidt zur
> ONB [mm]U=span(u_1, u_2)[/mm] macht.
Hallo,
Ja.
> Jetzt sucht man sich im Fall das [mm]\IR^5[/mm] noch 3 weiter
> Vektoren [mm]v_3, v_4, v_5,[/mm] die zu den ersten beiden [mm]v_1[/mm] und
> [mm]v_2[/mm] (oder zu [mm]u_1, u_2?)[/mm] orthogonal sind.
Genau. Beides geht.
> Die 3 orthonormalisiere ich wieder zu [mm]u_3, u_4, u_5,[/mm]
> welche dann die ONB zu [mm]U^{\perp}[/mm] sind.
Ja.
>
> [mm]v_3, v_4, v_5[/mm] kann ich entweder durch "schlaues Hinschauen"
> erkennen oder durch durch das homogene LGS Ax=0, wobai A
> [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] als Zeilenvektoren enthält.
Richtig.
>
> Korekt soweit?
Ja.
> > Füge die so gefundenen Vektoren zu deiner Basis [mm](u_1, u_2)[/mm]
> > jeweils unter Verwendung von Gram-Schmidt- Algorithmus
> > hinzu, es wird dadurch einfacher.
>
> Du meinst ich soll [mm]u_3, u_4, u_5[/mm] zur Basis [mm](u_1, u_2)[/mm]
> hinzufügen?
> Dann erhalte ich ich eine ONB für ganz [mm]\IR^5[/mm] oder nicht?
> Ist halt in der Aufgabe nicht gesucht, aber
... es läuft darauf hinaus.
> gut zu wissen
>
Das sowieso.
> Dann such ich
Genau.
Gruß v. Angela
> > LG Lippel
[mm]
[/mm]
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