ONB aus Eigenvektoren (unitär) < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Do 25.08.2005 | | Autor: | Scale |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: [ http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=19509 ]
Ich hab nochmal eine Frage zur Wiederholung:
Sei f eine unitäre Abb. von V in sich (V ein unitärer Vektorraum mit SKP) . Zeige: Es gibt ein ONomalbasis von V, die aus Eigenvektoren von f besteht.
Mein Ansatz:
Sei f eine unitäre Abb. von V in sich. Es gibt eine Orthonormalbasis von V der aus Eigenvektoren von f besteht, da seine Darstellungsmatrix unitär und symmetrisch ist und somit so diagonalisierbar ist das die Eigenvektoren von f jedenfalls eine orthogonale Basis bilden da <f(v),f(w)>=<v,w> gilt (Definition von unitär/orthogonal).
Normiert man schließlich diese Eigenvektoren ([mm]\frac{x_i}{||x_i||}[/mm] ), bilden sie eine Orthonormalbasis von V. (Skalierter Eigenvektor ist immernoch Eigenvektor...)
Stimmt das so, oder muß ich das formaler ausdrücken?
Dank & Gruß, Scale
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:16 Do 25.08.2005 | | Autor: | choosy |
dein ansatz besagt nur das eigenvektoren zu verschiedenen eigenwerten senkrecht zueinander sind, was imho immer der fall ist. der knackpunkt ist, das diese eigenvektoren den raum aufspannen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:49 Do 25.08.2005 | | Autor: | Scale |
Hallo choosy,
Obgleich ich dir widersprechen muss, dank ich dir, da du mich indirekt darauf gebracht hast wie ich es genauer ausdrücken kann:
Da die Matrix unitär ist, kann man ihre Diagonalisierbarkeit voraussetzen. Nun ist aber ein Kriterium für Diagonalisierbarkeit das die zur Matrix zugehörige Abbildung genau dann diagonalisierbar ist, wenn es eine Basis von V aus Eigenvektoren gibt. "genau dann" heißt das auch die Umkehrung gilt.
Genauer: Wenn f diagonalisierbar ist, so gibt es eine Basis [mm] B={v_1, ..., v_n} [/mm] von V, so dass die Darstellungsmatrix von f bezüglich B eine Diagolmatrix ist. Wenn [mm] k_1, [/mm] ..., [mm] k_n [/mm] die Elemente auf der Diagonalen dieser Matrix sind, so folgt [mm] f(v_i)=k_iv_i [/mm] für i=1,2,...,n. Also ist jedes [mm] v_i [/mm] ein Eigenvektor, und somit besteht B nur aus Eigenvektoren. [mm] \Box
[/mm]
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