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ONB: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 So 12.06.2005
Autor: wee

Hi, ich habe Verständnisprobleme bei folgender Aufgabe:


Bestimme eine ONB [mm] {v_{1} , v_{2} } [/mm] von [mm] \IR^2 [/mm] (für das Standardskalarprodukt) und [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \IR [/mm] mit folgender Eigenschaft: Für alle [mm] s_{1}, v_{1}, s_{2}, v_{2}= \vektor{t_{1} \\ t_{2}} [/mm] gilt [mm] 5t_{2}^2+ 2t_{1}^2+4t_{1}t_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{1}s_{1}^2 [/mm] + [mm] \lambda_{2}s_{2}^2 [/mm]

Ich weiss hir leider überhaupt keinen Ansatz. Kann mir also bitte jemand helfen?

Ich habe diese Frage in keinen anderen Internetforum gestellt

        
Bezug
ONB: Tip
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:42 Mo 13.06.2005
Autor: angela.h.b.

Hallo wee,

> mit folgender Eigenschaft: Für alle [mm]s_{1}, v_{1}, s_{2}, v_{2}= \vektor{t_{1} \\ t_{2}}[/mm]
> gilt

zwar kann ich mir hierauf nicht so recht einen Reim machen, doch ich denke, Du könntest es so versuchen:

ONB bedeutet doch:  [mm] v_{1} [/mm] und [mm] v_{2} [/mm] sind orthogonal (also Skalarprodukt =0) und jeweils normiert ( [mm] |v_{1}|=1 [/mm] und [mm] |v_{2}|=1). [/mm]
Dies würde ich mir mit den Koordinaten aufschreiben und dann verarbeiten.

Gruß v. Angela


Bezug
        
Bezug
ONB: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:57 Di 14.06.2005
Autor: Julius

Hallo!

Schreibe dir das Ganze mal in Matrizenschreibweise auf:

[mm] $\pmat{t_1 & t_2} \pmat{5 & 2 \\ 2 & 2} \pmat{t_1 \\ t_2} [/mm] = [mm] \pmat{s_1& s_2} \pmat{ \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2} \pmat{s_1 \\ s_2}$. [/mm]

Jetzt sieht du, dass du die symmetrische Matrix [mm] $\pmat{5 & 2 \\ 2 & 2}$ [/mm] diagonalisieren musst. Du musst als eine ON-Basis, bestehend aus Eigenvektoren dieser Matrix finden. Rechne also einfach die beiden Eigenvektoren aus. Diese stehen, da wir zwei paarweise verschiedene Eigenwerte einer symmetrischen Matrix haben, dann automatisch senkrecht aufeinander. Anschließend musst du diese dann nur noch gegebenenfalls normieren und bist fertig.

Viele Grüße
Julius

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ONB: was sind die lmbda?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Di 14.06.2005
Autor: wee

Alles klar soweit. Ich habe die Eigenwerte 1 und 6 und eine ONB. Aber was sind jetzt die noch zubestimmenden [mm] \lambda [/mm] ? Sind das die Eigenwerte oder die Einträge auf der Hauptdiagonalen der Matrix zur ONB ?

Bezug
                        
Bezug
ONB: Mögl. Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:49 Mi 15.06.2005
Autor: Herby

Hi Wee,

wenn ich das richtig verstanden habe, dann gilt ja:

[mm] (A-\lambda*E)*x=0 [/mm]

-- als Berechnung des Eigenvektors zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm] Multiplizierst du E mit [mm] \lambda, [/mm] so taucht dieser Wert auf der Hauptdiagonalen auf - Quasi beides!

Angaben ohne Gewähr (A.d.R.)  .........   sollte jemand meine Mitteilung für richtig befinden, so kann sie (er) den Status ja ändern.

Liebe Grüße
Herby

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Jetzt müsste es stimmen :-)

Bezug
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