Num. Inversion Generating F. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:21 Di 06.06.2006 | | Autor: | KuNe |
| Aufgabe | Hallo!
Bitte um einen Tipp bzgl. folgender Fragen/Probleme:
Lt. Henk C. Tijms "A First Course in Stochastic Models" ist für die M/D/c Queue die explizite Generating Function der Zustandswahrscheinlichkeiten:
[mm]P(z) = \bruch{c(1-rho)(1-z)}{1-z^ce^{\lambda D(1-z)}}\prod_{k=1}^{c-1} \bruch{z-z_k}{1-z_k}, \left| z \right| < 1 [/mm]
Nun sollte es zufolge Whitt und Abate's "Numerical inversion of probability generating function" (http://www.columbia.edu/~ww2040/GenFctORletters.pdf) möglich sein per diskreter FFT die Zustandswahrscheinlichkeiten zu berechnen.
Dazu habe ich zuerst die c unterschiedlichen z0, z1, ... Nullstellen des Nenners zu bestimmen um dann den diskreten FFT Algorithmus von Whitt und Abate anzuwenden. Obige Vorgehensweise ergab, unter zuhilfenahme von Maple 10, für die beispielhafte M/M/1 Generating Function die Whitt und Abate anführen idente Lösungen, sie führte mich aber bisher für die, ein wenig umständlichere, M/D/c Generating Function zu keiner akzeptablen Lösung hinsichtlich berechneter Nullstellen bzw. Zustandswahrscheinlichkeiten. |
Zwei zusammenhängte Probleme konnte ich nun für die M/D/c Generating Function bisher nicht klären, bzw. ist die Anzahl der berechneten Nenner Nullstellen (per Maple solve-Kommando) c+1 und die per diskreter FFT (per Maple-Algorithmus) berechnete Lösung nicht stimmig (da die Summenwahrscheinlichkeit grösser als 1 wird):
- Was habe ich bzgl. Nullstellenbestimmug für [mm]1-z^ce^{\lambda D(1-z)}[/mm] falsch verstanden wenn ich mit Maples solve-Kommando, z.B. für
[mm]{\lambda=0.5; D=1.; c=2.;}[/mm]
[mm]{s:=solve(1-z^ce^{\lambda D(1-z)}=0,z);}[/mm]
bestimme und dann c+1 Nullstellen (s := -.6602920666, 1.000000000, 10.34665193) anstelle c Nullstellen finde?
- Warum wird die Summe der Zustandwahrscheinlichkeiten größer 1 wenn dann z.B. mit folgender Maple Implementation des diskreten FFT Algorithmus von Whitt und Abate gearbeitet wird:
[mm]{a2Numer := n->(1/2*(a2GF(r)+(-1)^n*a2GF(-r)+2*(Sum((-1)^j*Re(a2GF(r*exp(I*Pi*j/n))), j = 1 .. n-1)))/(n*r^n)),j=1..n-1;}[/mm]
wobei der Error Bound wie folgt festgelegt wird:
[mm]v := 5;[/mm]
[mm]{r := 10^{(-1/2*v/n)};}[/mm]
um die Zustandwahrscheinlichkeit wie folgt zu berechnen
[mm]{sum(evalf(value(a2Numer(n))), n = 1 .. 25);}[/mm]
Danke für eure Hilfe!
KuNe
p.s.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 08.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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