Nullteilerfreiheit < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Coup |
| Aufgabe | Beweise:
[mm] x^2=1 [/mm] hat in einem Körper die einzigen Lösungen 1 und -1.
Forme die Gleichung so um das die Nullteilerfreiheit verwendet werden kann |
Hi,
ich weis leider nicht wie das mit der Nullteilerfreiheit gemeint ist. Muss ich hier mit den Axiomen arbeiten ? Wenn [mm] x^2-1=0 [/mm] in Normalform betrachtet wird ist ja offensichtlich das bzgl der Pq Formel 0 und -1 die einzigen Lösungen sind. Wie muss ich denn mit der Nullteilerfreiheit vorgehen ?
lg
Michael
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> Beweise:
> [mm]x^2=1[/mm] hat in einem Körper die einzigen Lösungen 1 und
> -1.
> Forme die Gleichung so um das die Nullteilerfreiheit
> verwendet werden kann
> Hi,
> ich weis leider nicht wie das mit der Nullteilerfreiheit
> gemeint ist. Muss ich hier mit den Axiomen arbeiten ? Wenn
> [mm]x^2-1=0[/mm]
So, bis hierhin sieht das schon gut aus.^^
Nullteilerfreiheit bedeutet:
$ab = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a = 0$ oder $b = 0$
Also in Worten: Ist ein Produkt gleich 0 so muss schon einer der Faktoren gleich 0 sein.
Da 0 mal irgendwas immer 0 ist hat man also:
$ab = 0 [mm] \gdw [/mm] a = 0$ oder $b = 0$
Schreib also [mm] $x^2 [/mm] - 1$ als ein Produkt von zwei Faktoren und dann benutze eben diese Nullteilerfreiheit um zu sagen, dass die einzigen Lösungen die sind, wo einer der Faktoren gleich 0 ist.
lg
Schadow
PS:
Die pq-Formel klappt in den reellen Zahlen, ja, aber sie klappt nicht zwangsläufig in jedem Körper (in manchen ist es zum Beispiel etwas kompliziert eine Wurzel zu definieren).
Deshalb musst du das hier ohne machen; aber das ist auch kein großes Problem. ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Coup |
Danke für die schnelle Antwort.
Also hätte ich in Bezug auf Nullteilerfreiheit die Faktoren (x+1)(x-1)=0.
Und wenn ich mir den Faktor x+1=0 herauspicke sieht man ja schon das x=-1 oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:00 Mi 02.11.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort.
> Also hätte ich in Bezug auf Nullteilerfreiheit die
> Faktoren (x+1)(x-1)=0.
> Und wenn ich mir den Faktor x+1=0 herauspicke sieht man ja
> schon das x=-1 oder ?
ja, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Und es könnte auch der andere Faktor x - 1 = 0 sein.
Gruß
meili
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