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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:49 Sa 24.03.2007 | | Autor: | goetz |
| Aufgabe | Das Polynom mit reellen Koeffizienten
[mm] P(z)=z^4-2z^3+3z^2+4z+24
[/mm]
hat dei Nullstellen [mm] z_{0}=2+2i \in \IC.
[/mm]
Man bestimme die übrigens drei Nullstellen [mm] z_{k} \in \IC [/mm] (k=1, 2 und 3).
Welche Nullstelle [mm] z_{k} [/mm] von P hat ein Argument im Intervall [170°,250°] [mm] (180°=\pi)? [/mm] |
Werte Gemeinschaft,
die Bestimmung der übrigen Nullstellen ist kein sonderliches Problem. [mm] z_{1} [/mm] kann man ablesen, das ist [mm] z_{1}=2-2i.
[/mm]
Die beiden Anderen ergeben sich mittels Polynomdivision und anschließender Lösung der quadratischen Gleichung:
[mm] z_{2}=2i-1 [/mm] und [mm] z_{3}=-2i-1.
[/mm]
Meine Frage bezieht sich nun auf den 2. Aufgabenteil, in dem verlangt wird, man soll feststellen, ob sich die Nullstellen in dem gegebenen Intervall befinden.
Ich kann mich erinnern, dass unser Prof in der Vorlesung dies anhand einer Zeichnung in einer Zahlenebene getan hat, aber ich verstehe nicht ganz, wie...
Es wäre super, wenn einer eine Idee hätte... und vielen Dank schonmal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG
Goetz
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Nun, dies ist eigentlich relativ einfach.
In der imaginären Zahlenebene zeichnest du den Realteil in x-Richtung und den Imaginärteil in y-Richtung. Damit ist jede komplexe Zahl ein Punkt in dieser Ebene. Verbinde den Ursprung mit einem gegebenen Punkt.
Der Winkel wird zwischen der positiven, reellen (also x-)Achse und der eingezeichneten Strecke abgelesen (natürlich gegen den Uhrzeigersinn), der Betrag ist einfach die Länge der Strecke.
Nun zeichne deine vier Punkte mal ein!
Die Lösung sollte [mm] z_3 [/mm] sein, denn man sieht am Winkel, daß die gesuchte Zahl z eine negative, reelle Komponente haben muß. Die beiden Kandidaten [mm] z_2 [/mm] und [mm] z_3 [/mm] liegen ziemlich nahe an der imaginären Achse, also recht nahe bei 90° bzw 270°. Und da paßt 250° einfach besser!
Rechnerisch gehts übrigens auch: Der Tangens des Winkels ist das Verhältnis von imaginärer zu reeller Komponente, und der Betrag ergibt sich duch Pythagoras!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:29 Sa 24.03.2007 | | Autor: | goetz |
Ja, das hilft mir sehr. Vielen herzlichen Dank!
Die Rechnung zeigt auch, dass Du Recht hast. Super! 
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