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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Fr 24.07.2009 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | Geben Sie eine quadratische Form [mm] $q:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$
[/mm]
an, sodass die Nullstellenmenge:
[mm] $\{x\in\mathbb{R}^{2}|q(x)=1\}$ [/mm] eine Ellipse (kein Kreis) bzw. eine
Hyperbel ist, und zwar soll eine der Hauptachsen die Ursprungsgerade
durch $(2,1)$ sein. |
Hallo,
mir geht es hier nur um das allgemeine Vorgehen, deswegen betrachte ich der Einfachheit halber nur die Hyperbel.
Eine Hyperbel wäre folgendes: [mm] $X^{2}-Y^{2}-1\Rightarrow X^{2}-Y^{2}=1.$
[/mm]
Die entsprechende Matrix $A$ mit [mm] $(x,y)A\begin{pmatrix}x\\
y\end{pmatrix}-1=0$ [/mm] ist:
[mm] $A=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & -1\end{pmatrix}.$
[/mm]
Jetzt wollte ich mir eine orthogonale Matrix $Q$ bestimmen, die als
Spalte den normierten Vektor $(2,1)$ hat und als nächste Spalte den
normierten $(2,-1).$
Und dann berechnen: [mm] $Q^{-1}AQ=A'.$Und [/mm] hoffentlich erhalte ich meine
geforderte Form dann durch:
[mm] $(x,y)A'\begin{pmatrix}x\\
y\end{pmatrix}-1.$ [/mm] Geht das so oder muss man irgendwie anders vorgehen?
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Hallo Unk,
> Geben Sie eine quadratische Form
> [mm]q:\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}[/mm]
> an, sodass die Nullstellenmenge:
>
> [mm]\{x\in\mathbb{R}^{2}|q(x)=1\}[/mm] eine Ellipse (kein Kreis)
> bzw. eine
> Hyperbel ist, und zwar soll eine der Hauptachsen die
> Ursprungsgerade
> durch [mm](2,1)[/mm] sein.
> Hallo,
>
> mir geht es hier nur um das allgemeine Vorgehen, deswegen
> betrachte ich der Einfachheit halber nur die Hyperbel.
>
> Eine Hyperbel wäre folgendes: [mm]X^{2}-Y^{2}-1\Rightarrow X^{2}-Y^{2}=1.[/mm]
>
> Die entsprechende Matrix $A$ mit [mm]$(x,y)A\begin{pmatrix}x\\
y\end{pmatrix}-1=0$[/mm] ist:
>
> [mm]$A=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & -1\end{pmatrix}.$[/mm]
>
> Jetzt wollte ich mir eine orthogonale Matrix [mm]Q[/mm] bestimmen,
> die als
> Spalte den normierten Vektor [mm](2,1)[/mm] hat und als nächste
> Spalte den
> normierten [mm](2,-1).[/mm]
Doch wohl eher [mm]\pmat{-1 \\ 2}[/mm].
>
> Und dann berechnen: [mm]Q^{-1}AQ=A'.[/mm]Und hoffentlich erhalte ich
> meine
> geforderte Form dann durch:
>
> [mm]$(x,y)A'\begin{pmatrix}x\\
y\end{pmatrix}-1.$[/mm] Geht das so oder muss man irgendwie
> anders vorgehen?
Die Vorgehensweise ist genau richtig.
Die quadratische Form schreibt sich so: [mm]\pmat{x & y}*B*\pmat{x \\ y}[/mm]
Läßt man jetzt eine Transformation [mm]\pmat{x \\ y}=S*\pmat{\tilde{x} \\ \tilde{y}}[/mm] darauf los, so ergicih die Matrix B' zu:
[mm]B'=S^{t}*B*S[/mm]
Diese Gleichung hast Du nun für B'=A und S=Q nach B umzustellen.
Gruß
MathePower
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