Nullstellenmenge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Sa 28.06.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion: [mm] f(x,y)=x²y^4-16x²-y^4+16
[/mm]
Bestimme die Menge der Punkte [mm] (x,y)\in \IR² [/mm] für die f(x,y)=0 gilt. |
Wenn ich zunächst die 2. Wurzel aus der Gl. [mm] x²y^4-16x²-y^4+16=0 [/mm] ziehe und diese dann umstelle zu y²(x-1)=4(x-1) bekomme ich als Nullstelle y=2. Die Polynomdivison geht dann aber nicht ganz auf: [mm] (x²y^4-16x²-y^4+16):(y-2)=2x+xy-y+2+ \frac{8}{y-2}
[/mm]
Wie soll ich weiter rechnen oder war mein Ansatz falsch?
Besten Dank im Voraus für eure Antworten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Sa 28.06.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist die Funktion: [mm]f(x,y)=x²y^4-16x²-y^4+16[/mm]
>
> Bestimme die Menge der Punkte [mm](x,y)\in \IR²[/mm] für die
> f(x,y)=0 gilt.
> Wenn ich zunächst die 2. Wurzel aus der Gl.
> [mm]x²y^4-16x²-y^4+16=0[/mm] ziehe und diese dann umstelle zu
> y²(x-1)=4(x-1) bekomme ich als Nullstelle y=2. Die
> Polynomdivison geht dann aber nicht ganz auf:
> [mm](x²y^4-16x²-y^4+16):(y-2)=2x+xy-y+2+ \frac{8}{y-2}[/mm]
>
> Wie soll ich weiter rechnen oder war mein Ansatz falsch?
Weiß ich nicht. Aber ich sehe, dass [mm] x²y^4-16x²-y^4+16=y^4(x^2-1)-16(x^2-1)=(y^4-16)(x^2-1) [/mm] ist.
Das ist Null, wenn [mm] y=\pm2 [/mm] (bei beliebigem x) oder [mm] x=\pm1 [/mm] (bei beliebigem y) ist.
Gruß Abakus
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> Besten Dank im Voraus für eure Antworten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Sa 28.06.2008 | | Autor: | bigalow |
Okay dann "besteht" die Nullstellenmenge zeichnerisch einfach aus 4 achsenparallelen Geraden y=2 ; y=-2 und x=1 ; x=-1.
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Sa 28.06.2008 | | Autor: | amoxys |
Hallo bigalow,
ich glaube, bei der Polynomdivision ist etwas schiefgegangen. Ich habe Folgendes raus:
$ [mm] (x²y^4-16x²-y^4+16):(y-2)=x²y³+2x²y²+4x²y+8x²-y³-2y²-4y-8=(x²-1)(y³+2y²+4+8)$
[/mm]
Gruß,
Robert
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