Nullstellengebilde < Algebraische Geometrie < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 30.10.2011 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgende Menge Nullstellengebilde eines Ideales in [mm] \IC[X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}] [/mm] ist. Beweisen ihre Aussage.
[mm] N:=\{\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}\in \IC^{4}|\exists \lambda, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}\in \IC: a_{1}^{2}+a_{2}^{2}=1, a_{3}^{2}+a_{4}^{2}=1, x_{1}=\lambda*a_{1}, x_{2}=\lambda*a_{2}, x_{3}=(1-\lambda)*a_{3}, x_{4}=(1-\lambda)*a_{4}\} [/mm] |
Hallo!
Also, wenn N Nullstellengebilde ist, dann lässt sich wohl ein Ideal finden, für das es das ist. Aber wenn nicht, wüsste ich nicht, wie ich zeigen sollte, dass es keines ist...
Daher hoffe ich mal das es das ist. Gäbe es ein Polynom P in vier Variabeln mit [mm] P(\lambda*a_{1}, \pm\lambda*\wurzel{1-a_{1}^{2}},(1-\lambda)*a_{3},\pm(1-\lambda)*\wurzel{1-a_{3}^{2}})=0
[/mm]
[mm] \forall \lambda, a_{1}, a_{3}\in \IC
[/mm]
so wäre N=(P), oder?
Aber so eines zu finden ist garnicht so einfach, meine erste Idee war die Summe aller Quadrate, da kommt für das angegebene Argument aber [mm] 2*\lambda^{2}-2*\lambda+1 [/mm] raus, wie kann man P so wählen, dass es passt? Oder gibt es überhaupt kein Hauptideal, dass es passt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:42 Mo 31.10.2011 | | Autor: | hippias |
Leider habe ich doch nicht die Zeit fuer eine ausfuehrlichere Ueberlegung,aber es koennte sich als nuetzlich erweisen, dass Du das [mm] $\lambda$ [/mm] auch ohne Wurzel ermitteln kannst (3.te bin. Formel) [mm] $\lambda= \bruch{1}{2}(x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}- x_{3}^{2}- x_{4}^{2})$. [/mm] Im Uebrigen vermute auch ich, dass die Menge tatsaechlich ein Nullstellengebilde ist.
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