Nullstellenbestimmung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:16 Do 11.05.2006 | | Autor: | Fry |
| Aufgabe | Gesucht sind die Nullstellen von sinh und cosh.
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Hallo :)
Hat cosh nur die Nullstelle [mm] x=\bruch{i*\pi}{2} [/mm] ?
Denn : cosh(x)=0
[mm] \gdw e^{x}=-e^{-x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x=ln(-1)-x
[mm] \gdw x=ln(1)+\bruch{*i*\pi}{2}
[/mm]
und sinh müsste nur die Nullstelle x=0 besitzen.
sinh(x)=0
[mm] \gdw e^{x}=e^{-x}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x=-x
[mm] \gdw [/mm] x=0
Stimmt das ?
Grüße
Fry
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> Gesucht sind die Nullstellen von sinh und cosh.
>
> Hallo :)
>
> Hat cosh nur die Nullstelle [mm]x=\bruch{i*\pi}{2}[/mm] ?
> Denn : cosh(x)=0
> [mm]\gdw e^{x}=-e^{-x}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x=ln(-1)-x[/mm]
Achtung, der natürliche Logarithmus ist nur für positive reelle Zahlen definiert! Das solltest du noch mal überdenken
> und sinh müsste nur die Nullstelle x=0 besitzen.
> sinh(x)=0
> [mm]\gdw e^{x}=e^{-x}[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] x=-x
> [mm]\gdw[/mm] x=0
Ja, das sieht gut aus.
MFG Verena
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:13 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Fry |
Hallo,
ja stimmt im Reelen, aber ich soll alle komplexen Nullstellen der Funktionen bestimmen. Und ln(-1) ist immer im Komplexen ja definiert.
Stimmt mein Ergebnis dann ?
Gruß
Fry
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Oh ja, sorry. Es sieht immer nur so komisch aus, wenn man den natürlichen Logarithmus von ner nicht positiven Zahl berechnet. Deswegen rechne ich immer lieber über Polarkoordinaten. Dann bekommst du übrigens auch alle Nullstellen und nicht nur die aus dem Hauptwert.
Aber sinh hat doch auch komplexe Nullstellen, oder? Rechne mal mit Polarkoordinaten, dann müsstest du die bekommen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:53 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Verena,
soweit ich weiß, hat der sinh nur 0 als Nullstelle (kompl 0+0i).
Der cosh allerdings [mm] x_{1,2}=0\pm\bruch{\pi*i}{2}
[/mm]
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Fr 12.05.2006 | | Autor: | baskolii |
Aber sin und cos sind doch beide [mm] 2\pi [/mm] -periodisch und wenn [mm] 0\cdot{}i [/mm] Nullstelle von sinh, dann doch auch [mm] 2\pi\cdot{}i. [/mm] Und da man nach Nullstellen sucht auch [mm] \pi\cdot{}i [/mm] und damit alle ganzzahligen Vielfachen von [mm] \pi\cdot{}i
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Verena,
jetzt, wo ich dich grad auftauchen sehe  - ich hab am Wochenende mal noch ein bisschen Bücher gewälzt aber leider nix gefunden, was über komplexe Nullstellen von sinh oder cosh von Bedeutung gewesen wäre.
Ich kann daher weder deine noch meine Mitteilung in irgendeiner Form mit einer Begründung belegen, die stichfest ist (nicht, dass wieder der Debugger auftaucht)
Liebe Grüße
Herby
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Mo 15.05.2006 | | Autor: | baskolii |
Aber was bekommst du denn, wenn du [mm] 2\pi\cdot{}i [/mm] in sinh einsetzt?
[mm] sinh(2\pi\cdot{}i)=\frac{e^{2\pi\cdot{}i}-e^{-2\pi\cdot{}i}}{2}=\frac{1}{2}(cos(2\pi)+i\cdot{}sin(2\pi)-(cos(-2\pi)+i\cdot{}sin(-2\pi)))
[/mm]
[mm] =\frac{1}{2}(cos(2\pi)+i\cdot{}sin(2\pi)-cos(-2\pi)-i\cdot{}sin(-2\pi)))=\frac{1}{2}(cos(2\pi)+i\cdot{}sin(2\pi)-cos(2\pi)+i\cdot{}sin(2\pi)))
[/mm]
[mm] =i\cdot{}sin(2\pi)=0.
[/mm]
Oder hab ich mich da irgendwo verrechnet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:09 Mo 15.05.2006 | | Autor: | baskolii |
> ich bekomme kleine süße Nullstellen für alle [mm]2*k*\pi*i[/mm] -
Tatsächlich bekommt man sogar Nullstellen für [mm] k\pi\cdot{}i
[/mm]
> das war aber auch gar nicht meine Überlegung, sondern - da
> ich mich mit [mm]2*k*\pi[/mm] im Kreis drehe,
Was meinst du mit im Kreis drehen? [mm] 2\pi{}i [/mm] und [mm] 4\pi{i} [/mm] sind durchaus unterschiedliche komplexe Zahlen und damit auch unterschiedliche Nullstellen. Du kannst zwar graphisch argumentieren, dass man sich bei [mm] 4\pi [/mm] zweimal im Kreis gedreht hat, aber die Zahlen sind doch trotzdem verschieden. Und wie erklärst du mit deiner Begründung, dass [mm] \pi{}i [/mm] und [mm] 2\pi{}i [/mm] Nullstellen sind? Hier hat man sich ja nur um 180° gedreht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Mo 15.05.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo Verena,
> > ich bekomme kleine süße Nullstellen für alle [mm]2*k*\pi*i[/mm] -
> Tatsächlich bekommt man sogar Nullstellen für [mm]k\pi\cdot{}i[/mm]
>
> > das war aber auch gar nicht meine Überlegung, sondern - da
> > ich mich mit [mm]2*k*\pi[/mm] im Kreis drehe,
>
> Was meinst du mit im Kreis drehen? [mm]2\pi{}i[/mm] und [mm]4\pi{i}[/mm] sind
> durchaus unterschiedliche komplexe Zahlen und damit auch
> unterschiedliche Nullstellen.
das stimmt
> Du kannst zwar graphisch
> argumentieren, dass man sich bei [mm]4\pi[/mm] zweimal im Kreis
> gedreht hat, aber die Zahlen sind doch trotzdem
> verschieden.
das stimmt auch
> Und wie erklärst du mit deiner Begründung,
> dass [mm]\pi{}i[/mm] und [mm]2\pi{}i[/mm] Nullstellen sind? Hier hat man sich
> ja nur um 180° gedreht?
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") lass mich da mal noch ein paar Jahre drüber schlafen [Dateianhang nicht öffentlich]
Liebe Grüße
Herby
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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![[idee]](/images/smileys/idee.gif "[idee]"){kind=small}
