Nullstellenberechnung < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Sa 29.06.2013 | | Autor: | schlotti |
| Aufgabe | | Die Funktion f(x) = [mm] x^4 -5x^3 +6x^2+4x-8 [/mm] soll diskutiert werden. |
Hey,
es geht um die Nullstellenberechnung. Eine Nullstelle erschließt sich durch probieren, da finde ich eine Nullstelle bei x = 2. Daher habe ich mit der Funktion eine Polynomdivision druchgeführt. Das Ergebnis lautet bei mir [mm] x^3 -3x^2 [/mm] -4 , meine Frage ist, wie kann ich jetzt weiter vorgehen?
Kann man eine erneute Polynomdivision mit der gleichen bekannten Nullstelle druchführen? (Die Frage stellt sich mir allgemein, ob ich eine bekannte Nullstelle zweimal für eine Polynomdivision falls nötig verwenden darf?). Andernfalls wäre die Möglichkeit, die Funktion nach [mm] x^2(x-3)=4 [/mm] umzuformen, nur ob mir das allzuviel bringt bezweifel ich, da ich dann unter anderem [mm] x^2 [/mm] = 4 betrachten müsste, was mir die Nullstelle x=-2 liefern würde die nicht in der Funktion vorkommt und ich müsste den Fall x-3= 4 betrachten, der ebenfalls zu einer Nullstelle führt die nicht in der oben genannten Funktion auftaucht. Was mache ich falsch?
Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Viele Grüße
schlotti
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:47 Sa 29.06.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Die Funktion f(x) = [mm]x^4 -5x^3 +6x^2+4x-8[/mm] soll diskutiert
> werden.
> Hey,
>
> es geht um die Nullstellenberechnung. Eine Nullstelle
> erschließt sich durch probieren, da finde ich eine
> Nullstelle bei x = 2. Daher habe ich mit der Funktion eine
> Polynomdivision druchgeführt. Das Ergebnis lautet bei mir
> [mm]x^3 -3x^2[/mm] -4 ,
Es sollte aber [mm] x^3-3x^2+4 [/mm] sein.
> meine Frage ist, wie kann ich jetzt weiter
> vorgehen?
> Kann man eine erneute Polynomdivision mit der gleichen
> bekannten Nullstelle druchführen? (Die Frage stellt sich
> mir allgemein, ob ich eine bekannte Nullstelle zweimal für
> eine Polynomdivision falls nötig verwenden darf?).
Du kannst jede Zahl beliebig oft für eine Polynomdivision verwenden, die Frage ist nur, ob die aufgeht. Wenn ja, dann ist die Zahl eine Nullstelle des Polynoms, wenn nicht, dann nicht.
Wenn eine Zahl [mm] x_0 [/mm] einfache (1-fache; Polynomdivision geht nur einmal auf) Nullstelle einer ganzrationalen Funktion f ist, dann schneidet der Graph von f die x-Achse bei [mm] x_0 [/mm] mit einem bestimmten Winkel [mm] \not= [/mm] 0.
Wenn die Polynomdivision genau zweimal aufgeht, dann ist [mm] x_0 [/mm] doppelte Nullstelle, es ist dann [mm] f(x_0)=0 [/mm] und auch [mm] f'(x_0)=0, [/mm] der Graph von f berührt die x_Achse bei [mm] x_0. [/mm] So geht es entsprechend weiter, bei dreifachen Nullstellen ist außerdem noch [mm] f"(x_0)=0, [/mm] ...
> Andernfalls wäre die Möglichkeit, die Funktion nach
> [mm]x^2(x-3)=4[/mm] umzuformen, nur ob mir das allzuviel bringt
> bezweifel ich, da ich dann unter anderem [mm]x^2[/mm] = 4 betrachten
> müsste, was mir die Nullstelle x=-2 liefern würde die
> nicht in der Funktion vorkommt und ich müsste den Fall
> x-3= 4 betrachten, der ebenfalls zu einer Nullstelle führt
> die nicht in der oben genannten Funktion auftaucht.
Das ist alles Unsinn, das hast du ja schon selbst bemerkt.
Es gibt den schönen Satz vom Nullprodukt "Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn mindestens einer seiner Faktoren Null ist", aber der ist natürlich eben nur für Null gültig, nicht für 4.
> Was
> mache ich falsch?
>
> Wäre nett wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
>
> Viele Grüße
>
> schlotti
HJKweseleit hat heute einen sehr schönen Link veröffentlicht, auf den ich dich auch noch mal hinweisen möchte :
https://matheraum.de/uploads/forum/00973949/forum-i00973949-n001.DOC
Gruß Sax.
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