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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Sa 18.06.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Berechnen sie für eine Genauigkeit von $5 [mm] \cdot 10^{-5}$ [/mm] alle Nullstellen der Funktion [mm] $f(x)=x^5-x-\frac{1}{5}$ [/mm] mit dem Zwischenwertsatz. |
Ich hab den Zwischenwertsatz in meiner Formelsammlung durchgelesen und dort wieder immer von einem Intervall gesprochen. Dieses vermeintliche Intervall ist mir aber nicht angegeben. Ich verstehen nun deshalb auch nicht wie ich die Aufgabe ohne diesem Intervall lösen soll!
Könnt ihr mir helfen?
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Hallo bandchef,
> Berechnen sie für eine Genauigkeit von [mm]5 \cdot 10^{-5}[/mm]
> alle Nullstellen der Funktion [mm]f(x)=x^5-x-\frac{1}{5}[/mm] mit
> dem Zwischenwertsatz.
> Ich hab den Zwischenwertsatz in meiner Formelsammlung
> durchgelesen und dort wieder immer von einem Intervall
> gesprochen. Dieses vermeintliche Intervall ist mir aber
> nicht angegeben. Ich verstehen nun deshalb auch nicht wie
> ich die Aufgabe ohne diesem Intervall lösen soll!
>
> Könnt ihr mir helfen?
Setze ein paar Werte ein oder lasse dir den Funktionsgraphen plotten
f ist setig und es ist [mm]f\left(-3/2\right)<0[/mm] und [mm]f(-1/2)>0[/mm], also ist eine NST im Intervall [mm][-3/2,-1/2][/mm]
Weiter ist [mm]f(1/2)<0[/mm], also noch eine NST im Intervall [mm][-1/2,1/2][/mm]
Und schließlich [mm]f(3/2)>0[/mm], also die dritte NST im Intervall [mm][1/2,3/2][/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Sa 18.06.2011 | | Autor: | bandchef |
Und wie vereinbart sich das dann mit der angegebenen Genauigkeit?
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Hallo nochmal,
> Und wie vereinbart sich das dann mit der angegebenen
> Genauigkeit?
Nun, die Intervalle sind ja noch recht grob, sie sind zu "lang" 
Du könntest für jedes der Intervalle so vorgehen:
Durch sukzessive Intervallhalbierung und entsprechende Auswahl des "passenden" Teilintervalls, in dem die NST liegt, kannst du die Intervalle immer kleiner machen, bis sie die vorgegebene Länge nicht mehr überschreiten.
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:54 Sa 18.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Alternativ kannst du auch mal die Extremstellen berechnen, diese liegen bei [mm] x_{1;2}=\pm\frac{1}{\sqrt[4]{4}}\approx0,7
[/mm]
(-0,7 Hochp., +0,7 Tiefp)
Mit den Grenzen: [mm] \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty [/mm] und [mm] \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty
[/mm]
bekommst du dann die drei Intervalle, in denen jeweils eine Nullstelle liegen muss, nämlich:
[mm] I_{1}:=(-\infty;-0,7)
[/mm]
[mm] I_{2}:=(-0,7;0,7)
[/mm]
[mm] I_{3}:=(0,7;\infty)
[/mm]
Marius
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