Nullstellen von Polynomen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen des jeweiligen Polynoms und zeichnen Sie diese in die komplexe Zahlenebene ein. Zerlegen Sie das jeweilige Polynom in Pol [mm] \IC [/mm] in ein Produkt von Linearfaktoren.
(a) [mm] z^{8} [/mm] - 1
(b) [mm] x^{5}+3x^{4}+2x^{3}+x^{2}+3x+2
[/mm]
(c) [mm] x^{5}+3x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+3x+1
[/mm]
(d) [mm] u^{4}-13u^{3}-2u+26 [/mm] |
Hallo,
zu (a)
da komplexe Nullstellen gesucht werden, muss wenn z=a+bi gilt, b=0 sein.
[mm] z^{8} [/mm] - 1 = 0 [mm] \gdw (a+bi)^{8} [/mm] -1 = 0 mit b=0 führt mich zu [mm] a_{1}=1 [/mm] und [mm] a_{2}=-1
[/mm]
und somit dann [mm] z_{1}=1+0i [/mm] und [mm] z_{2}=-1+0i
[/mm]
richtig so?
Linearfaktorzerlegung bei komplexen Zahlen kann ich leider nicht.
(b)
hier stört mich die +2, ohne die könnte man x ausklammern, sonst weiß ich nicht weiter.
(c)
selbes Problem mit +1
(d)
dito, +26
Danke im Voraus
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Hallo,
> Bestimmen Sie alle komplexen Nullstellen des jeweiligen
> Polynoms und zeichnen Sie diese in die komplexe Zahlenebene
> ein. Zerlegen Sie das jeweilige Polynom in Pol [mm]\IC[/mm] in ein
> Produkt von Linearfaktoren.
>
> (a) [mm]z^{8}[/mm] - 1
> (b) [mm]x^{5}+3x^{4}+2x^{3}+x^{2}+3x+2[/mm]
> (c) [mm]x^{5}+3x^{4}+4x^{3}+4x^{2}+3x+1[/mm]
> (d) [mm]u^{4}-13u^{3}-2u+26[/mm]
> Hallo,
>
> zu (a)
>
> da komplexe Nullstellen gesucht werden, muss wenn z=a+bi
> gilt, b=0 sein.
>
> [mm]z^{8}[/mm] - 1 = 0 [mm]\gdw (a+bi)^{8}[/mm] -1 = 0 mit b=0 führt mich zu
> [mm]a_{1}=1[/mm] und [mm]a_{2}=-1[/mm]
> und somit dann [mm]z_{1}=1+0i[/mm] und [mm]z_{2}=-1+0i[/mm]
> richtig so?
Nicht wirklich. Hier gibt es 8 unterschiedliche Nullstellen. Die kann man rein rechnerisch bekommen, aber es ist nicht verboten, sich klar zu machen, was in der Gauß'schen Ebene passiert, wenn man eine Zahl potenziert: ihr Betrag wird ebenfalls mit dem gleichen Exponenten potenziert, ihr Argument jedoch um diesen Exponenten vervielfacht. Welche komplexe Zahlen mit Betrag 1 bilden also mit der positiven reellen Achse einen derartigen Winkel, dass Multiplikation mit 8 zu einem ganzzahligen Vielfachen von [mm] 2\pi [/mm] führt?
Mach dir das mal klar, dann wird dir auch ein rein rechnerischer Weg hier einleuchtender sein.
>
> Linearfaktorzerlegung bei komplexen Zahlen kann ich leider
> nicht.
>
> (b)
>
> hier stört mich die +2, ohne die könnte man x
> ausklammern, sonst weiß ich nicht weiter.
Man könnte mal so anfangen:
[mm] x^5+3x^4+2x^3+x^2+3x+2=x^3*(~~x^2+3x+2)+x^2+3x+2
[/mm]
Jetzt müsstest du aber sehen, wie es weitergeht.
>
> (c)
>
> selbes Problem mit +1
>
> (d)
>
> dito, +26
Jetzt versuche mal a) und b). Im übrigen bringt es den Helfern nicht so arg viel zu lesen, was dich stört. Was du selbst für Ideen hast bzw. schon versucht hast, das wäre hilfreicher. 
Gruß, Diophant
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Also ein ganzzahliges Vielfaches von 2 [mm] \pi [/mm] würde ja bedeuten, dass der Winkel aufgrund der Periodizität wieder 0° beträgt, oder?
Somit müsste der Imaginärteil stets 0 sein. Der Realteil könnte jede beliebige reelle Zahl sein.
zu (b)
aber klar, abc Formel
=> [mm] x_{1}=-1 [/mm] , [mm] x_{2}=-2
[/mm]
und das sind nun die komplexen Nullstellen? bzw. was bedeutet jetzt der Teil "Zerlegen Sie das jeweillige Polynom in Pol [mm] \IC [/mm] in ein Produkt von Linearfaktoren" ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo barischtoteles,
es gibt bei solch einem Polynom achten Grades wirklich acht unterschiedliche Nullstellen. Lies Dir noch mal den Text zur Bildung der Potenz durch, dann wirst Du erkennen, dass eine Lösung auch durchaus eine komplexe Zahl sein kann. Wichtig ist nur, dass, wegen der Potenz von 8, das Argument dieser komplexen Zahl, mal 8 genommen, wieder auf der reellen Achse landet. Ich weiß, das ist am Anfang etwas ungewöhnlich, aber man gewöhnt sich dran.
Zur Veranschaulichung nimm mal, wir sind ja bescheiden, nur eine Potenz von 4 an, also etwas mit der Form
[mm] z^4 = 1 [/mm]
Die 1 ist sicherlich eine Lösung, die -1 auch, jetzt schau Dir mal an, was mit der Zahl [mm] i [/mm] passiert, wenn Du ihren Winkel vervierfachst. Und nun mach das ganze auch mal mit [mm] -i [/mm]. Was erkennst Du?
Zu den Linearfaktoren ist einfach nur zu sagen, dass sie ein Polynom als Multiplikation der Ausdrücke
[mm] (z-a)(z-b)(z-c) ....[/mm] darstellen, wobei a, b und c durchaus komplex sein dürfen. Setzt Du in so einen Ausdruck für z gerade solch einen Wert a, b oder c ein, so kommt eine Null dabei heraus. Die Parameter a, b und c sind also gerade die Nullstellen des Polynoms.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo,
also bei der Bildung der Potenz ist es ja so, dass der betrag bzw. die länge der komplexen zahl potenziert und der winkel zwischen ihr und der reellen achse multipliziert wird. [mm] i^4 [/mm] wäre demnach ja wieder i und [mm] (-i)^4 [/mm] auch wieder -i oder was sehe ich da falsch?
da der betrag auch 1 beträgt, ändert dieser sich nicht, das heist so oft sich der zeiger auch dreht, er bleibt schlussendlich auf der selben stelle, da n=8 ist, die 8 nullstellen sind dann jedes mal die 2 gleichen oder nicht?!
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Hallo,
nochmal: das Polynom [mm] z^8-1=0 [/mm] besitzt acht unterschiedliche Lösungen. Es wäre schon viel gewonnen, wenn du dies einfach zunächst einmal akzeptieren würdest, anstatt hartnäckig auf deinem Denkfehler zu bestehen.
Außerdem ist
[mm] i^8=(-i)^8=1
[/mm]
...
Gruß, Diophant
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entschuldige, ich versuche nur zu verstehen...
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ich glaube jetzt verstehe ich, die potenzierung erfolgt wie eine art spirale, demnach wäre der betrag 1 nach einer potenzierung =8
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Hallo,
nein und nein. Die Lösungen von [mm] z^8-1=0 [/mm] liegen auf dem Einheitskreis in der Gauß'schen Ebene. Und die 8. Potenz einer Zahl vom Betrag 1 hat ebenfalls wieder den Betrag 1 (ebenso wie bspw. die 157. Potenz).
Was ich nicht verstehe: diese Dinge kann man jedem halbwegs vernünftigen Grundlagenwerk entnehmen. Hast du dir denn keine Literatur besorgt? Dort wo du herkommst, gibt es gleich drei unterschiedliche Leihbibliotheken, die jede für sich keine Wünsche offen lassen. Von daher hast du hier gar keine Ausrede.
Gruß, Diophant
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Vielen Dank schonmal!
Demnach wäre eine Lösung ja [mm] e^{\bruch{\pi}{4} i} [/mm] = cos [mm] (\bruch{\pi}{4}) [/mm] + i sin [mm] (\bruch{\pi}{4}) [/mm] aber da kommt kein runder Wert raus sondern ~0,7+0,7i
Habe ich was falsch gemacht?
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Hallo,
> Vielen Dank schonmal!
> Demnach wäre eine Lösung ja [mm]e^{\bruch{\pi}{4} i}[/mm] = cos
> [mm](\bruch{\pi}{4})[/mm] + i sin [mm](\bruch{\pi}{4})[/mm] aber da kommt
> kein runder Wert raus sondern ~0,7+0,7i
> Habe ich was falsch gemacht?
sapientes sat sagt der Lateiner...
Es ist [mm] cos\left(\bruch{\pi}{4}\right)=\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] Schulwissen aus Stufe 9!
Der Tipp von Frisco ist nicht wirklich zielführend. Denn hier geht es ja darum, die Lösungen exakt anzugeben (es steht doch ausdrücklich da, dass man die Polynome in Linearfaktoren zerlegen soll). Das Wissen um die Eulersche Darstellung kann also hilfreich sein, hier die Lösungen gleich zu sehen, aber es ist nicht wirklich sinnvoll, diese Darstellung bei derartigen Aufgaben zu verwenden. Denn sonst musst du schon ziemlich viele algebraische Werte von Sinus und Kosinus auswendig wissen, auch solche mit verschachtelten Wurzeln...
Mein Ratschlag, dir erst einmal die Grundlagen anzulesen, ist entweder untergegangen oder er schmeckt dir nicht so gut. Aber es hat doch keinen Wert, an solchen Aufgaben planlos herumzurechnen, wenn man diese Grundlagen nicht kennt. Mache dich also mit der geometrischen Deutung von Addition und Multiplikation komplexer Zahlen in der Gauß'schen Ebene vertraut, schau dir weiters die einschlägig bekannten algebraischen Werte von Sinus und Kosinus für die Winkel 0, [mm] \pi/6, \pi/4, \pi/3 [/mm] und [mm] \pi/2 [/mm] an und schon werden diese ganzen Aufgaben hier zu Zwei- bis Dreizeilern...
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 So 17.11.2013 | | Autor: | xxplay4fun |
Schau mal in deinem Skript nach wie man Polarkoordinaten bildet. Dort müsste auch stehen, wie man die Wurzel von komplexen Zahlen zieht.
Schreiben wir einfach mal die 1 in Polarkoordinaten dann kommt raus:
|1|*(cos(0)+i*sin(0)) jetzt definieren wir [mm] \beta [/mm] als 0, da das ja dein Winkel ist.
mit der Formel [mm] \gamma \in \{ \beta/n + l*2\pi/n \}
[/mm]
n ist die Potenz, also in dem Fall die 8 und l muss sein: 0,...,n-1. In dem Fall also 0,...,7
Alles eingesetzt: [mm] \gamma \in \{ l*(\pi/4) \}
[/mm]
Also folgt daraus: [mm] (|z|)^{1/8}*(cos(l*(\pi/4))+i*sin(l*(\pi/4)))
[/mm]
Nun musst du nur noch die verschiedenen l einsetzten. Nun bin ich mir auch nicht ganz so sicher, aber ich denke (|z|)^(1/8) = 1 oder nicht? Da der Betrag von 1 gleich 1 ist oder?
Zu den anderen Aufgaben: kann es sein, dass nur bei der c komplexe Lösungen vorhanden sind?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 So 17.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Moin,
> Schau mal in deinem Skript nach wie man Polarkoordinaten
> bildet.
Glücklicherweise bin ich mit 48 schon aus dem Gröbsten raus, Skripte muss ich keine mehr lesen, meist verwende ich Bücher.
> Dort müsste auch stehen, wie man die Wurzel von
> komplexen Zahlen zieht.
Jo, hab ich auch schon so zwei- dreimal gelesen.
> Schreiben wir einfach mal die 1 in Polarkoordinaten dann
> kommt raus:
> |1|*(cos(0)+i*sin(0)) jetzt definieren wir [mm]\beta[/mm] als 0, da
> das ja dein Winkel ist.
> mit der Formel [mm]\gamma \in \{ \beta/n + l*2\pi/n \}[/mm]
> n ist
> die Potzen, also in dem Fall die 8 und l muss sein:
> 0,...,n-1. In dem Fall also 0,...,7
> Alles eingesetzt: [mm]\gamma \in \{ l*(\pi/4) \}[/mm]
> Also folgt
> daraus: [mm](|z|)^{1/8}*(cos(l*(\pi/4))+i*sin(l*(\pi/4)))[/mm]
> Nun musst du nur noch die verschiedenen l einsetzten. Nun
> bin ich mir auch nicht ganz so sicher, aber ich denke
> (|z|)^(1/8) = 1 oder nicht? Da der Betrag von 1 gleich 1
> ist oder?
>
> Zu den anderen Aufgaben: kann es sein, dass nur bei der c
> komplexe Lösungen vorhanden sind?
Nein, das kann nicht sein und wurde schon zum wiederholten Male ausgeführt. Insbesondere verstehe ich den Sinn deines Postings hier an dieser Stelle nicht.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:15 So 17.11.2013 | | Autor: | xxplay4fun |
Komisch ich komm aber auf 8 Lösungen :/ Wenn ich aber jetzt alles ausrechne komme ich auf 8 Lösungen die da wären:
[mm] \wurzel{2}/2+\wurzel{2}*i/2
[/mm]
i
[mm] -\wurzel{2}/2+\wurzel{2}*i/2
[/mm]
-1
[mm] \wurzel{2}/2-\wurzel{2}*i/2
[/mm]
-i
[mm] \wurzel{2}/2+\wurzel{2}*i/2
[/mm]
und 1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:31 So 17.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Komisch ich komm aber auf 8 Lösungen :/
ich auch. Ich wollte dir oben sagen, dass ich mit 48 Jahren aus dem Alter heraus bin, in dem man sich mit Skripten herumschlagen muss. Wenn, dann tue ich es freiwillig. 
> Wenn ich aber
> jetzt alles ausrechne komme ich auf 8 Lösungen die da
> wären:
> [mm]\wurzel{2}/2+\wurzel{2}*i/2[/mm]
> i
> [mm]-\wurzel{2}/2+\wurzel{2}*i/2[/mm]
> -1
> [mm]\wurzel{2}/2-\wurzel{2}*i/2[/mm]
> -i
> [mm]\wurzel{2}/2+\wurzel{2}*i/2[/mm]
> und 1
Auf die komme ich im Prinzip auch, siehe meinen Beitrag weiter unten. Beachte jedoch, dass du durch einen Tippfehler oben eine LÖsung doppelt drin hast, dafür fehlt
[mm]-\wurzel{2}/2-\wurzel{2}*i/2[/mm]
Gruß, Diophant
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Nach erneutem Blick in die Literatur bin ich auf die Idee gekommen, dass die Lösungen einfach den einheitskreis in 8 gleiche stücke teilen. Sprich einfach [mm] k*2\pi/8
[/mm]
Korrekt?
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Hallo,
> Nach erneutem Blick in die Literatur bin ich auf die Idee
> gekommen, dass die Lösungen einfach den einheitskreis in 8
> gleiche stücke teilen. Sprich einfach [mm]k*2\pi/8[/mm]
> Korrekt?
Ja, das ist korrekt (mit dem Zusatz k=0,1....,7). Aber wie gesagt, die Art der Aufgabenstellung erfordert die exakte Angabe der Nullstellen, da kann man nicht mit gerundeten Werten daherkommen!
Gruß, Diophant
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Klar, das präziseste wäre an der Stelle mit der Phase und dem einheitskreis zu argumentieren. Man würde zwar keine Koordinaten angeben aber skizzieren ist ja die Aufgabe und bei sauberer Zeichnung müsste alles passen
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Hallo,
> Klar, das präziseste wäre an der Stelle mit der Phase und
> dem einheitskreis zu argumentieren. Man würde zwar keine
> Koordinaten angeben aber skizzieren ist ja die Aufgabe und
> bei sauberer Zeichnung müsste alles passen
nein, das präziseste wäre, das zu tun, was in der Aufgabenstellung gefordert wird, nämlich das Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen:
[mm]z^8-1=\left(z-1\right)*\left(z-\bruch{\wurzel{2}}{2}-i*\bruch{\wurzel{2}}{2}\right)*\left(z-i\right)*\left(z+\bruch{\wurzel{2}}{2}-i*\bruch{\wurzel{2}}{2}\right)*\left(z+1\right)*\left(z+\bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2}\right)*\left(z+i\right)*\left(z-\bruch{\wurzel{2}}{2}+i*\bruch{\wurzel{2}}{2}\right)[/mm]
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:25 So 17.11.2013 | | Autor: | xxplay4fun |
Komischerweise kommt durch die Zerlegung des Polynom in Linearfaktoren genau die gleichen Lösungen raus wie bei mir. Warum sollte man das dann nicht so machen dürfen wie ich es gemacht habe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 So 17.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Komischerweise kommt durch die Zerlegung des Polynom in
> Linearfaktoren genau die gleichen Lösungen raus wie bei
> mir. Warum sollte man das dann nicht so machen dürfen wie
> ich es gemacht habe?
wer sagt, dass man das nicht tun darf???
Es ging einzig und allein darum, dass die Aufgabe so wie sie gestellt ist exakte Lösungen erfordert.
Gruß, Diophant
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Frage zu (b)
Die Lösungen die mir die ABC Formel liefert sind -2 und -1 also reelle zahlen was hat das nun mit komplexen nullstellen zu tun? Bei den beiden anderen teilaufgaben brauch ich bitte auch noch Hilfe, (c) geht mit ABC Formel nicht auf und bei (d) hab ich überhaupt keine idee
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Hallo,
> Frage zu (b)
> Die Lösungen die mir die ABC Formel liefert sind -2 und
> -1 also reelle zahlen was hat das nun mit komplexen
> nullstellen zu tun? Bei den beiden anderen teilaufgaben
> brauch ich bitte auch noch Hilfe, (c) geht mit ABC Formel
> nicht auf und bei (d) hab ich überhaupt keine idee
ich finde, jetzt machst du es dir so langsam echt zu leicht. Wir sind hier keine Lösungsmaschine, sondern es wir die Mitarbeit der Fragesteller erwartet!
Zu b) habe ich dir bereits den Anfang gepostet, du bist jedoch nicht darauf eingegangen.
Zu c):
[mm] x^5+3x^4+4x^3+4x^2+3x+1=(x^4+2x^3+2x^2+2x+1)(x+1)
[/mm]
[mm] =(x^4+2x^2+1+2x^3+2x)(x+1)
[/mm]
[mm] =((x^2+1)^2+2x*(x^2+1))(x+1)
[/mm]
[mm] =(x^2+1)(x^2+2x+1)(x+1)
[/mm]
[mm] =(x^2+1)(x+1)^3
[/mm]
Versuche, das nachzuvollziehen und zerlege den ersten Faktor noch, denn er ist nicht linear. Auf den ersten Schritt kommt man übrigens mit der naheligenden Polynomdivision durch (x+1).
Die Aufgabe d) ist ein Kinderspiel dagegen, von daher solltest du damit selbst klarkommen, nachdem ich dir c) so gut wie gelöst habe!
Mathematik ist eben nicht das blinde Anwenden irgendwelcher Formeln, sondern viel mehr das Erkennen und Lösen von Problemen, wobei das Erkennen stets am Anfang steht. Und bei dem Prozess, vom Erkennen zur Lösung zu kommen, da benötigt man Eigeninitiative und Kreativität. Und sorry: vor allem ersteres fehlt mir bei dir völlig!
Gruß, Diophant
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Wieso nicht darauf eingegangen? Ich habe deinen schritt fortgeführt bei der (b) und bin zu den genannten Lösungen -2 und -1 gekommen, ich wollte gerade lediglich die mathematische Deutung wissen, da ja nach komplexen nullstellen gefragt wird. In linearfaktoren zerlegt habe ich bereits auch [mm] x^{3}[(x+1)(x+2)]+(x+1)(x+2)
[/mm]
Bei der c lässt sich der erste Faktor doch garnicht mehr zerlegen [mm] x^{2}+1 [/mm] weil diese Teilfunktion ja keine nullstelle hat oder?
Tut mir echt leid ich würde mich nicht mit Absicht dummstellen und stunden lang im Forum verbringen wenn ich selber darum käme
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 So 17.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo barischtoteles,
beschäftige Dich doch erst mal mit der Idee und der Darstellung der komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene. Deine Fragen zeigen recht eindeutig, dass Du "noch im Reellen" denkst und das ist nun mal zu wenig für das komplexe Komplexe.
Auch der Ausdruck [mm] (x^2 +1) [/mm] lässt sich weiter zerlegen, aber eben nicht im Reellen.
Viele Grüße,
Infinit
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Stimmt natürlich, i wäre demnach die lösung
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:48 So 17.11.2013 | | Autor: | Infinit |
Ja, jetzt kommt die richtige Denke rein.
Weiter so und viel Erfolg,
Infinit
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Hallo,
> Wieso nicht darauf eingegangen? Ich habe deinen schritt
> fortgeführt bei der (b) und bin zu den genannten Lösungen
> -2 und -1 gekommen,
Das ist in meinen Augen in dieser Form schon fast eine Zumutung. Da gehört eine Rechnung, also Rechenweg und Ergebnis hin samt Erläuterung. Außerdem geht es hier nicht um Lösungen, sondern um Linearfaktoren, was zumenindest eine andere Darstellung erfordert. Also das mindeste wäre gewesen, du hättest geschrieben
[mm] x^2+3x+2=(x+1)*(x+2)
[/mm]
Dann hättest du vielleicht auch leichter eingesehen, dass du hier noch nicht fertig bist.
> ich wollte gerade lediglich die
> mathematische Deutung wissen, da ja nach komplexen
> nullstellen gefragt wird.
Die reellen Zahlen sind Teilmenge der komplexen Zahl, d.h., für jede reelle Zahl x gilt
[mm] x\in\IC
[/mm]
Dieses Wissen darf man bei Studenten voraussetzen.
> In linearfaktoren zerlegt habe
> ich bereits auch [mm]x^{3}[(x+1)(x+2)]+(x+1)(x+2)[/mm]
>
Das ist falsch. Es geht so weiter:
[mm] x^3*(x^2+3x+2)^2+x^2+3x+2=(x^3+1)*(x^2+3x+2)
[/mm]
Und auch hier muss man den ersten Faktor noch weiter zerlegen zu
[mm] (x^3+1)=(x+1)*\left(\bruch{1}{2}+i\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)*\left(\bruch{1}{2}-i\bruch{\wurzel{3}}{2}\right)
[/mm]
> Bei der c lässt sich der erste Faktor doch garnicht mehr
> zerlegen [mm]x^{2}+1[/mm] weil diese Teilfunktion ja keine
> nullstelle hat oder?
Doch, siehe dazu die Antwort von Infinit
> Tut mir echt leid ich würde mich nicht mit Absicht
> dummstellen und stunden lang im Forum verbringen wenn ich
> selber darum käme
Das ist eben der Denkfehler: anstatt Stunden in einem Forum zu verbringen schnappt man sich ein Lehrbuch, erarbeitet sich die Grundlagen und beginnt dann damit, Übungsaufgaben zu lösen. So war das halt zu meiner Zeit mal...
Gruß, Diophant
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