Nullstellen von 2*cos(pi/2x)-1 < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Do 16.10.2014 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Wie berechnet man alle Nullsellen von
f(x) = [mm] 2*cos(\bruch{\pi}{2}*x) [/mm] - 1 |
Moin Moin!
Allgemein liegen die Nullstellen einer Kosinusfunktion bei
[mm] x_k [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] k*\pi [/mm] mit k [mm] \in \IZ
[/mm]
Erstens: wie berücksichtige die Verschiebung nach unten?
Konkret könnte ich nur die erste Basislösung errechnen...
f(x) = 0
[mm] 2*cos(\bruch{\pi}{2}*x) [/mm] - 1 = 0
[mm] cos(\bruch{\pi}{2}*x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] | arccos
[mm] \bruch{\pi}{2}*x [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{3}
[/mm]
[mm] x_0 [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Aber wie kann ich von da aus die weiteren Lösungen berechnen?
Zweitens: wie berücksichtige ich die verkürzte Periodenlänge?
Hierzu würde mir einfallen...
wenn ich z.B. f(x) = 3*cos(b*x) habe, dann wären Nullstellen bei
[mm] x_k [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{\pi}{2} + k*\pi}{b} [/mm]
richitg?
Danke für eure Hilfe!
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Hallo hase-hh,
> Wie berechnet man alle Nullsellen von
>
> f(x) = [mm]2*cos(\bruch{\pi}{2}*x)[/mm] - 1
> Moin Moin!
>
> Allgemein liegen die Nullstellen einer Kosinusfunktion bei
>
> [mm]x_k[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] + [mm]k*\pi[/mm] mit k [mm]\in \IZ[/mm]
>
>
> Erstens: wie berücksichtige die Verschiebung nach unten?
>
Löse die Gleichung f(x)=0, so daß da steht:
[mm]cos(\bruch{\pi}{2}*x)= \ ...[/mm]
> Konkret könnte ich nur die erste Basislösung
> errechnen...
>
> f(x) = 0
> [mm]2*cos(\bruch{\pi}{2}*x)[/mm] - 1 = 0
>
> [mm]cos(\bruch{\pi}{2}*x)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] | arccos
>
> [mm]\bruch{\pi}{2}*x[/mm] = [mm]\bruch{\pi}{3}[/mm]
>
> [mm]x_0[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
>
> Aber wie kann ich von da aus die weiteren Lösungen
> berechnen?
>
Lasse zunächst diese Lösung stehen:
[mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{\pi}{3}[/mm]
Hier ist noch die Periodizität des Cosinus zu berücksichtigen.
Hier gibt es noch eine weitere Lösung, denn
[mm]\cos\left(\bruch{5\pi}{3}\right)=\bruch{1}{2}[/mm]
Demnach gibt es noch eine weitere Gleichung:
[mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{5\pi}{3}[/mm]
Hier ist ebenfalls noch die Periodizität des Cosinus zu beachten.
>
>
> Zweitens: wie berücksichtige ich die verkürzte
> Periodenlänge?
>
> Hierzu würde mir einfallen...
>
> wenn ich z.B. f(x) = 3*cos(b*x) habe, dann wären
> Nullstellen bei
>
> [mm]x_k[/mm] = [mm]\bruch{\bruch{\pi}{2} + k*\pi}{b}[/mm]
>
> richitg?
>
Ja.
>
> Danke für eure Hilfe!
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 16.10.2014 | | Autor: | hase-hh |
Moin
> Lasse zunächst diese Lösung stehen:
>
> [mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{\pi}{3}[/mm]
>
> Hier ist noch die Periodizität des Cosinus zu
> berücksichtigen.
>
> Hier gibt es noch eine weitere Lösung, denn
>
> [mm]\cos\left(\bruch{5\pi}{3}\right)=\bruch{1}{2}[/mm]
Wie kommst du auf [mm] \bruch{5*\pi}{3} [/mm] ???
> Demnach gibt es noch eine weitere Gleichung:
>
> [mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{5\pi}{3}[/mm]
>
> Hier ist ebenfalls noch die Periodizität des Cosinus zu
> beachten.
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo hase-hh,
> Moin
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> > Lasse zunächst diese Lösung stehen:
> >
> > [mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{\pi}{3}[/mm]
> >
> > Hier ist noch die Periodizität des Cosinus zu
> > berücksichtigen.
> >
> > Hier gibt es noch eine weitere Lösung, denn
> >
> > [mm]\cos\left(\bruch{5\pi}{3}\right)=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> Wie kommst du auf [mm]\bruch{5*\pi}{3}[/mm] ???
>
Es gilt doch:
[mm]\cos\left(\bruch{\pi}{3}\right)=\cos\left(2\pi-\bruch{\pi}{3}\right)=\cos\left(\bruch{5\pi}{3}\right)[/mm]
>
>
> > Demnach gibt es noch eine weitere Gleichung:
> >
> > [mm]\bruch{\pi}{2}*x = \bruch{5\pi}{3}[/mm]
> >
> > Hier ist ebenfalls noch die Periodizität des Cosinus zu
> > beachten.
>
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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Hiho,
oder wie man es meiner Meinung nach schneller sieht.
Der Kosinus ist ja gespiegelt an der y-Achse, daher gilt:
[mm] $\cos\left(\bruch{\pi}{3}\right) [/mm] = 0 = [mm] \cos\left(-\bruch{\pi}{3}\right)$
[/mm]
Und aufgrund der Periodizität des Kosinus dann:
$0 = [mm] \cos\left(-\bruch{\pi}{3} + 2\pi\right) [/mm] = [mm] \cos\left(\bruch{5\pi}{3}\right)$
[/mm]
Wegen der Spiegelsymmetrie reicht es übrigens auch, alle positiven Nullstellen zu finden.
Gruß,
Gono
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