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| Aufgabe | Gibt es eine Nullstelle des Polynoms
[mm] X^2+7X+45
[/mm]
in [mm] \IZ/409\IZ? [/mm] |
Hallo,
ich bin davon ausgegangen, dass es mindestens eine Nullstelle in [mm] \IZ/409\IZ [/mm] existiert. Man muss also zeigen, dass [mm] x^2+7x+45 \equiv [/mm] 0 (mod 409) [mm] \gdw x^2+7x\equiv [/mm] -45 (mod 409) [mm] \gdw x^2+7x \equiv [/mm] 364 (mod 409).
Ab da komme ich leider nicht weiter. Kann mir jemand einen Tipp dazu geben?
Danke im Voraus!
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Hiho,
ihr hattet bestimmt / hoffentlich:
In einem endlichen Körper gilt:
Die quadratische Gleichung [mm] $X^2 [/mm] + pX + q = 0$ ist lösbar, genau dann, wenn die Diskriminante $D = [mm] p^2 [/mm] - 4q$ ein Quadrat ist.
Das ist faktisch die selbe Aussage, wie die p-q-Formel im Rellen.
Gruß,
Gono
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Vielen Dank für deine Antwort. Diese Überlegung hatte ich bereits, aber da ich kein Quadrat erhalten habe, aber ich mir einen anderen Weg überlegt das anders zulösen
( mit Mitternachtsformel bzw nur die Diskriminante betrachtet:
[mm] 7^2-4*45= [/mm] 49-180=-131 [mm] \equiv [/mm] 278)
Heißt es dann in dem Fall, dass es keine Lösung in [mm] \IZ/409\IZ [/mm] existiert?
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Hiho,
> Vielen Dank für deine Antwort. Diese Überlegung hatte ich
> bereits, aber da ich kein Quadrat erhalten habe, aber ich
> mir einen anderen Weg überlegt das anders zulösen
Das ist schlecht 
> ( mit Mitternachtsformel bzw nur die Diskriminante betrachtet:
>
> [mm]7^2-4*45=[/mm] 49-180=-131 [mm]\equiv[/mm] 278)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Heißt es dann in dem Fall, dass es keine Lösung in [mm]\IZ/409\IZ[/mm] existiert?
Wenn die Diskriminante keine Quadratzahl wäre: Ja.
Es ist aber eine!
Es gibt sogar zwei Zahlen [mm]x \in \IZ/409\IZ[/mm] mit [mm] $x^2 [/mm] = 278$
Gruß,
Gono
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Wie rechne ich das in diesem Fall? Da 409 keine primfaktorzerlegung hat, lässt sich die Rechnung nicht weiterzerlegen. Ich müsste folgendes bestimmen:
[mm] x^2\equiv [/mm] 278 mod 409. Leider weiß ich nicht weiter was ich machen könnte. Ich könnte alle zahlen von 1 bis 408 durchprobieren, aber es gibt bestimmt eine systematischen Lösungeweg, welches weniger zeitintensiv ist.
Da wir wissen, dass [mm] x^2\equiv [/mm] 278 mod 409 eine Lösung hat dann folgt mit Euler Kriterium [mm] 278^{204} \equiv [/mm] 1 mod 409. Aber hilft es mir in diesem Fall weiter?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 22.05.2019 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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