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Nullstellen in Restklassenring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 So 19.05.2019
Autor: questionpeter

Aufgabe
Gibt es eine Nullstelle des Polynoms

[mm] X^2+7X+45 [/mm]
in [mm] \IZ/409\IZ? [/mm]


Hallo,

ich bin davon ausgegangen, dass es mindestens eine Nullstelle in [mm] \IZ/409\IZ [/mm] existiert. Man muss also zeigen, dass [mm] x^2+7x+45 \equiv [/mm] 0 (mod 409) [mm] \gdw x^2+7x\equiv [/mm] -45 (mod 409) [mm] \gdw x^2+7x \equiv [/mm] 364 (mod 409).

Ab da komme ich leider nicht weiter. Kann mir jemand einen Tipp dazu geben?
Danke im Voraus!

        
Bezug
Nullstellen in Restklassenring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 So 19.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ihr hattet bestimmt / hoffentlich:
In einem endlichen Körper gilt:

Die quadratische Gleichung [mm] $X^2 [/mm] + pX + q = 0$ ist lösbar, genau dann, wenn die Diskriminante $D = [mm] p^2 [/mm] - 4q$ ein Quadrat ist.

Das ist faktisch die selbe Aussage, wie die p-q-Formel im Rellen.

Gruß,
Gono

Bezug
                
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Nullstellen in Restklassenring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 So 19.05.2019
Autor: questionpeter

Vielen Dank für deine Antwort. Diese Überlegung hatte ich bereits, aber da ich kein Quadrat erhalten habe, aber ich mir einen anderen Weg überlegt das anders zulösen

( mit Mitternachtsformel bzw nur die Diskriminante betrachtet:

[mm] 7^2-4*45= [/mm] 49-180=-131 [mm] \equiv [/mm] 278)

Heißt es dann in dem Fall, dass es keine Lösung in [mm] \IZ/409\IZ [/mm] existiert?

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen in Restklassenring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:15 So 19.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Vielen Dank für deine Antwort. Diese Überlegung hatte ich
> bereits, aber da ich kein Quadrat erhalten habe, aber ich
> mir einen anderen Weg überlegt das anders zulösen

Das ist schlecht :-)

> ( mit Mitternachtsformel bzw nur die Diskriminante betrachtet:
>  
> [mm]7^2-4*45=[/mm] 49-180=-131 [mm]\equiv[/mm] 278)

[ok]

> Heißt es dann in dem Fall, dass es keine Lösung in [mm]\IZ/409\IZ[/mm] existiert?

Wenn die Diskriminante keine Quadratzahl wäre: Ja.

Es ist aber eine!
Es gibt sogar zwei Zahlen [mm]x \in \IZ/409\IZ[/mm] mit [mm] $x^2 [/mm] = 278$

Gruß,
Gono

Bezug
                                
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Nullstellen in Restklassenring: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:17 Mo 20.05.2019
Autor: questionpeter

Wie rechne ich das in diesem Fall? Da 409 keine primfaktorzerlegung hat, lässt sich die Rechnung nicht weiterzerlegen. Ich müsste folgendes bestimmen:
[mm] x^2\equiv [/mm] 278 mod 409. Leider weiß ich nicht weiter was ich machen könnte. Ich könnte alle zahlen von 1 bis 408 durchprobieren, aber es gibt bestimmt eine systematischen Lösungeweg, welches weniger zeitintensiv ist.

Da wir wissen, dass [mm] x^2\equiv [/mm] 278 mod 409 eine Lösung hat dann  folgt mit Euler Kriterium [mm] 278^{204} \equiv [/mm] 1 mod 409. Aber hilft es mir in diesem Fall weiter?

Bezug
                                        
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Nullstellen in Restklassenring: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mi 22.05.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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