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Hallo!
Kann man ohne Graphen und ohne umständliche Polynomdivision im Vorhinein bereits herausfinden, dass das Polynom keine reelle Nullstelle enthält?
Beispiel: [mm] 2x^4 [/mm] - [mm] 5x^3 [/mm] + 8x² - 5x + 2 ... meine Aufgabe ist es die reellen Nullstellen zu berechnen, da es aber keine gibt, hab ich ohne Taschenrechner ein Problem.
Meine 2. Frage:
Gegeben ist das Polynom P(x) = [mm] x^6 [/mm] - [mm] x^4 [/mm] - 14x² + 24
Gesucht: reelle Nullstellen.
Dieses Polynom ist eine gerade Funktion mit 4 reellen Nullstellen. Um mir Arbeit zu ersparen rechne ich nur 2 NS aus und gebe die anderen Nullstellen mithilfe der Eigenschaft der geraden Funktion an.
Ich konnte jedoch nur auf Grund des Graphen erkennen, dass das Polynom gerade ist - wie kann man das auf rechnerische (möglichst wenig aufwendige) Weise herausfinden?
Danke & lG
sonnenblumale
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Hallo Sonnenblumale!
Bei ganz-rationalen Funktionen ist eine sogenannte "gerade Funktion" eine Funktion, bei der ausschließlich gerade Potenzen der Variablen auftreten. Dabei gilt dann ein Absolutglied (hier: $+24 \ = \ [mm] +24*x^{\red{0}}$) [/mm] ebenfalls als gerade Potenz.
Allgemeiner formuliert handelt es sich bei einer geraden Funktion um eine Funktion, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist.
Dafür muss dann für alle $x \ [mm] \in [/mm] \ D$ gelten: $f(x) \ = \ f(-x)$
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner!
Der Schmäh gefällt mir - gibts dazu einen mathematischen Beweis?
Danke & lG
sonnenblumale
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Hallo sonnenblumale!
Beweis wofür jetzt genau? Für die Achsensymmetrie?
Allgemeines zu Achsensymmetrie: ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") . . .  symmetrisch
Und bei Symmetrie zur y-Achse gilt ja: $a \ = \ 0$ und damit meine oben angegebene Formel.
Hilft Dir das weiter?
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo sonnenblumale!
Dazu fällt mir gerade lediglich ein, bereits im Vorfeld die Extremstellen zu berechnen und zu zeigen, dass die Funktionswerte der Tiefpunkte oberhalb der x-Achse liegen.
Und da diese Funktion für $x \ [mm] \rightarrow [/mm] \ [mm] \pm \infty$ [/mm] jeweils gegen [mm] $\red{+} [/mm] \ [mm] \infty$ [/mm] strebt, können dann auch keine Nullstellen existieren.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner!
Danke für die Tipps + Schmähs - hast sehr geholfen :)
lG
sonnenblumale
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