Nullstellen finden -kompZahlen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:18 Do 24.01.2013 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Nullstellen der folgenden Polynome:
a) (5 + [mm] 5i)z^3 [/mm] + (1 + 3i)(2 − i) in [mm] \IC.
[/mm]
b) [mm] z^2 [/mm] + (1 + 2i)z + 1 + 7i in [mm] \IC.
[/mm]
c) [mm] x^5 [/mm] + x + 1 in [mm] \IF11.
[/mm]
Hinweis: Die p-q-Formel gilt auch fur komplexe Zahlen, aber der Wurzelterm muss meist noch zusätzlich berechnet werden. |
Hallo,
Ich habe paar Fragen zur dieser Aufgabe. Die Aufgabe a.) sieht ausgeklammert folgendermaßen aus:
[mm] 5z^3 [/mm] + [mm] 5iz^3+5i+5
[/mm]
Wie ihr sehen könnt gibt es zwei mal ein [mm] z^3 [/mm] und da fangen schon meine Probleme an. Ich hab zwar eine Nullstelle gefunden ( -1) aber ich weiß jetzt nicht wie ich damit rechnen soll. Ich wollte Polynom Division anwenden aber durch die zwei [mm] z^3 [/mm] komme ich nicht weiter.
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Hallo Hero991,
> Berechnen Sie alle Nullstellen der folgenden Polynome:
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> a) (5 + [mm]5i)z^3[/mm] + (1 + 3i)(2 − i) in [mm]\IC.[/mm]
> b) [mm]z^2[/mm] + (1 + 2i)z + 1 + 7i in [mm]\IC.[/mm]
> c) [mm]x^5[/mm] + x + 1 in [mm]\IF11.[/mm]
>
> Hinweis: Die p-q-Formel gilt auch fur komplexe Zahlen, aber
> der Wurzelterm muss meist noch zusätzlich berechnet
> werden.
> Hallo,
> Ich habe paar Fragen zur dieser Aufgabe. Die Aufgabe a.)
> sieht ausgeklammert folgendermaßen aus:
> [mm]5z^3[/mm] + [mm]5iz^3+5i+5[/mm]
> Wie ihr sehen könnt gibt es zwei mal ein [mm]z^3[/mm] und da
> fangen schon meine Probleme an. Ich hab zwar eine
> Nullstelle gefunden ( -1) aber ich weiß jetzt nicht wie
> ich damit rechnen soll. Ich wollte Polynom Division
> anwenden aber durch die zwei [mm]z^3[/mm] komme ich nicht weiter.
Nun, statt wie wild auszumultiplizieren, stelle [mm](5+5i)z^3+(5+5i)=0[/mm] um zu
[mm]z^3=-1[/mm] bzw. [mm]z^3+1=0[/mm]
Dann kannst du in der Tat mit der reellen Nullstelle [mm]z=-1[/mm] Polynomdivision machen:
[mm](z^3+1):(z+1)=z^2-z+1[/mm] und dann mit der p/q-Formel wie im Hinweis weitermachen.
Alternativ kannst du die 3ten Wurzeln [mm]z^3=-1[/mm] doch auch direkt mit der entsprechenden Formel berechnen ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Do 24.01.2013 | | Autor: | Hero991 |
Kannst du mir die Umstellung schritt für Schritt erklären? Ich verstehe nicht wie du von $ [mm] (5+5i)z^3+(5+5i)=0 [/mm] $ auf [mm] z^3=1 [/mm] bzw [mm] z^3=-1 [/mm] drauf gekommen bist.
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Hallo nochmal,
> Kannst du mir die Umstellung schritt für Schritt
> erklären? Ich verstehe nicht wie du von [mm](5+5i)z^3+(5+5i)=0[/mm]
> auf [mm]z^3=1[/mm] bzw [mm]z^3=-1[/mm] drauf gekommen bist.
Nun, das hintere [mm]5+5i[/mm] ergibt sich durch Ausmultiplizieren von [mm](1+3i)(2-i)[/mm]
Nun rechne ich auf beiden Seiten der Gleichung [mm](5+5i)z^3+(5+5i)=0[/mm]
[mm]\red{-(5+5i)}[/mm]
Das gibt: [mm](5+5i)z^3+\underbrace{(5+5i)\red{-(5+5i)}}_{=0}=0\red{-(5+5i)}[/mm]
Also [mm](5+5i)z^3=-(5+5i)[/mm]
Nun auf beiden Seiten durch [mm]5+5i[/mm] teilen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 Do 24.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie alle Nullstellen der folgenden Polynome:
>
> a) (5 + [mm]5i)z^3[/mm] + (1 + 3i)(2 − i) in [mm]\IC.[/mm]
> b) [mm]z^2[/mm] + (1 + 2i)z + 1 + 7i in [mm]\IC.[/mm]
> c) [mm]x^5[/mm] + x + 1 in [mm]\IF11.[/mm]
>
> Hinweis: Die p-q-Formel gilt auch fur komplexe Zahlen, aber
> der Wurzelterm muss meist noch zusätzlich berechnet
> werden.
> Hallo,
> Ich habe paar Fragen zur dieser Aufgabe. Die Aufgabe a.)
> sieht ausgeklammert folgendermaßen aus:
> [mm]5z^3[/mm] + [mm]5iz^3+5i+5[/mm]
> Wie ihr sehen könnt gibt es zwei mal ein [mm]z^3[/mm] und da
> fangen schon meine Probleme an.
Echt ? Die Einheit "Hühnerei" sei x. Ich geb Dir einen Korb mit, und da sind drin
2x+7x.
Wieviele Eier hast Du ?
Gruß vom Hühnerfred (http://www.derhuehnerfred.de/)
> Ich hab zwar eine
> Nullstelle gefunden ( -1) aber ich weiß jetzt nicht wie
> ich damit rechnen soll. Ich wollte Polynom Division
> anwenden aber durch die zwei [mm]z^3[/mm] komme ich nicht weiter.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Do 24.01.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> Echt ? Die Einheit "Hühnerei" sei x. Ich geb Dir einen
> Korb mit, und da sind drin
>
> 2x+7x.
>
> Wieviele Eier hast Du ?
1) Wieviele Eier ich habe, geht Dich gar nichts an.
> Gruß vom Hühnerfred (http://www.derhuehnerfred.de/)
2) Da lachen ja die Hühner.
Oh, ich habe vergessen, diese Mitteilung als Off-topic zu markieren...
Grüße
reverend
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Hallo Hero,
zu was für einer Vorlesung sind denn diese Aufgaben gestellt worden? Mich wundert Aufgabe c), die hätte ich eher in der Zahlentheorie vermutet, die andern beiden aber nicht.
> Berechnen Sie alle Nullstellen der folgenden Polynome:
>
> c) [mm]x^5[/mm] + x + 1 in [mm]\IF11.[/mm]
Vorab: wir bewegen uns im Primkörper [mm] \IF11 [/mm] und x=0 ist offensichtlich keine Lösung.
Da für alle [mm] x\not\equiv 0\mod{11} [/mm] ja [mm] x^{10}\equiv 1\mod{11} [/mm] gilt, kannst Du auch folgern, dass die fünften Potenzen in nur zwei Restklassen fallen, nämlich [mm] [-1]\equiv[10]\mod{11} [/mm] und [mm] 1\mod{11}.
[/mm]
Mit diesem Wissen kannst Du nun leicht die einzige Nullstelle bestimmen.
Grüße
reverend
PS: Bei b) braucht man übrigens nur den Hinweis zur Aufgabe.
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