Nullstellen eines Vektorfeldes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mo 31.03.2014 | | Autor: | Orchis |
Hallo zusammen, ich arbeite gerade an einer Seminararbeit und würde sehr gerne einmal den folgenden Beweis verstehen. Er ist so (aus dem Englischen übersetzt) dem Dokument http://math.berkeley.edu/~evans/control.course.pdf
übernommen und von mir an manchen Stellen ausführlicher kommentiert, als das vllt. notwendig wäre, aber ich will das Lemma ja auch verstehen!!!
Blöderweise komme ich an manchen Stellen aber mit dem Verständnis einfach nicht hinterher...naja, hier einmal das Lemma + Beweis:
[mm] \textbf{Lemma (Nullstellen eines Vektorfeldes)}
[/mm]
[mm] \newline
[/mm]
Sei S eine abgeschlossene, beschr"ankte (bounded), konvexe Teilmenge des [mm] $\mathbb{R}^{n}$ [/mm] mit p einem Punkt aus dem Innern von S. Sei weiterhin [mm] $\Phi: [/mm] S [mm] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ [/mm] ein stetiges Vektorfeld welches der strengen Ungleichung
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[/mm]
[mm] $|\Phi(x)-x|<|x-p|$ [/mm] f"ur alle $x [mm] \in \partial [/mm] S$
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gen"ugt. Dann existiert ein Punkt $x [mm] \in [/mm] S$, sodass [mm] $\Phi(x)=p$ [/mm] gilt.
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[mm] \textbf{Beweis:}
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Wir nehmen zun"achst an, dass $S$ der Einheitsball $B(0,1)$ ist und p=0.
Laut Voraussetzung gilt
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[mm] $|\phi(x)-x| [/mm] < |x-p|$ [mm] $\forall$ [/mm] $x [mm] \in \partial [/mm] B(0,1)$
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Mit $p=0$ folgt dann
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[mm] $|\phi(x)-x| [/mm] < |x-0|$
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[mm] $\Leftrightarrow |\phi(x)-x| [/mm] < |x|$.
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Quadrieren ergibt [mm] ($\phi: [/mm] B [mm] \rightarrow \mathbb{R}^{n}$)
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[mm] $|\phi(x)-x|^{2} [/mm] < [mm] |x|^{2}$
[/mm]
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[mm] $\Leftrightarrow \phi(x)^{2}-2\phi(x) \cdot [/mm] x + [mm] x^{2} [/mm] < [mm] x^{2}$
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[mm] $\Leftrightarrow \phi(x)^{2}-2\phi(x) \cdot [/mm] x < 0$
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[mm] $\Leftrightarrow \phi(x)^{2} [/mm] < [mm] 2\phi(x) \cdot [/mm] x$
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[mm] $\Leftrightarrow \phi(x)^{2}<2\phi(x) \cdot [/mm] x$.
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Nun ergibt sich sofort, dass
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[mm] $\phi(x) \cdot [/mm] x > 0$, denn $0 < [mm] \dfrac{\phi(x)^{2}}{2} [/mm] < [mm] \phi(x) \cdot [/mm] x$ [mm] $\forall$ [/mm] $x [mm] \in \partial [/mm] B(0,1)$.
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Laut Musterlösung folgt daraus nun sofort, dass für kleine $t>0$ die stetige Abbildung [mm] $\Psi(x):=x-t\Phi(x)$ [/mm] $B(0,1)$ in sich selbst abbildet und wir laut dem Brouwerschen Fixpunktsatz einen Fixpunkt [mm] $x^{*}$ [/mm] finden können. Was sagt uns, dass [mm] $\phi(x) \cdot [/mm] x > 0$ [mm] $\forall$ [/mm] $x [mm] \in \partial [/mm] B(0,1)$? Wieso folgt daraus die Selbstabbildung???
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Ist [mm] $x^{*}$ [/mm] Fixpunkt von [mm] $\Psi$, [/mm] dann gilt [mm] $\Phi(x^{*})=0$, [/mm] denn
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[mm] $\Psi(x^{*})=x^{*}$
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[mm] $\Leftrightarrow x^{*}=x^{*}-t \Phi(x^{*})$
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[mm] $\Leftrightarrow$
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[mm] $0=t\Phi(x^{*})$
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[mm] $\overset{t \neq 0}{\Leftrightarrow}$ [/mm]
[mm] $0=\Phi(x^{*})$
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Nun verallgemeinern wir das, was wir rausgefunden haben: Im allgemeinen Fall kann man es durch eine Translation immer schaffen $p$ in den Ursprung zu legen. Dann gehört $0$ zum Innern von S (Warum das??? 0 muss doch nicht zwangsläufig zu S gehören, oder doch?).
Als nächstes bilden wir S durch radiale Dilatation auf $B(0,1)$ ab (ich denke, da S ja konvex ist können wir einen Homöomorphismus angeben, der $x [mm] \in [/mm] S$ durch Geraden auf B(0,1) abbildet) und bilden [mm] $\Phi$ [/mm] ab durch orientierungserhaltende Isometrien (rigid motions).
Dadurch schafft man es das Problem auf das vereinfachte Problem mit dem Einheitsball zu überführen.
Was sagt uns dieses Lemma eigentlich genau. Was hat das mit Nullstellen eines Vektorfeldes zu tun??? Ich w"urde meinen, dass es uns lediglich (für p=0) die Existenz von mindestens einer Nullstelle des Vektorfeldes [mm] $\Phi$ [/mm] anzeigt, oder?
An alle, die sich das hier angetan haben: Herzlichen Dank!!!
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Liebe Grüße,
Orchis
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Di 01.04.2014 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo zusammen, ich arbeite gerade an einer Seminararbeit
> und würde sehr gerne einmal den folgenden Beweis
> verstehen. Er ist so (aus dem Englischen übersetzt) dem
> Dokument
> http://math.berkeley.edu/~evans/control.course.pdf
> übernommen und von mir an manchen Stellen ausführlicher
> kommentiert, als das vllt. notwendig wäre, aber ich will
> das Lemma ja auch verstehen!!!
> Blöderweise komme ich an manchen Stellen aber mit dem
> Verständnis einfach nicht hinterher...naja, hier einmal
> das Lemma + Beweis:
>
> [mm]\textbf{Lemma (Nullstellen eines Vektorfeldes)}[/mm]
> [mm]\newline[/mm]
> Sei S eine abgeschlossene, beschr"ankte (bounded), konvexe
> Teilmenge des [mm]\mathbb{R}^{n}[/mm] mit p einem Punkt aus dem
> Innern von S. Sei weiterhin [mm]\Phi: S \rightarrow \mathbb{R}^{n}[/mm]
> ein stetiges Vektorfeld welches der strengen Ungleichung
> [mm]\newline[/mm]
> [mm]|\Phi(x)-x|<|x-p|[/mm] f"ur alle [mm]x \in \partial S[/mm]
> [mm]\newline[/mm]
> gen"ugt. Dann existiert ein Punkt [mm]x \in S[/mm], sodass
> [mm]\Phi(x)=p[/mm] gilt.
> [mm]\newline[/mm]
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> [mm]\textbf{Beweis:}[/mm]
> [mm]\newline[/mm]
> Wir nehmen zun"achst an, dass [mm]S[/mm] der Einheitsball [mm]B(0,1)[/mm]
> ist und p=0.
> Laut Voraussetzung gilt
> [mm]\newline[/mm]
> [mm]|\phi(x)-x| < |x-p|[/mm] [mm]\forall[/mm] [mm]x \in \partial B(0,1)[/mm]
>
> [mm]\newline[/mm]
> [mm]\newline[/mm]
> Mit [mm]p=0[/mm] folgt dann
> [mm]\newline[/mm]
> [mm]|\phi(x)-x| < |x-0|[/mm]
> [mm]\newline[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow |\phi(x)-x| < |x|[/mm].
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> [mm]\newline[/mm]
> Quadrieren ergibt ([mm]\phi: B \rightarrow \mathbb{R}^{n}[/mm])
>
> [mm]\newline[/mm]
> [mm]|\phi(x)-x|^{2} < |x|^{2}[/mm]
> [mm]\newline[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow \phi(x)^{2}-2\phi(x) \cdot x + x^{2} < x^{2}[/mm]
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> [mm]\newline[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow \phi(x)^{2}-2\phi(x) \cdot x < 0[/mm]
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> [mm]\Leftrightarrow \phi(x)^{2} < 2\phi(x) \cdot x[/mm]
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> [mm]\Leftrightarrow \phi(x)^{2}<2\phi(x) \cdot x[/mm].
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> Nun ergibt sich sofort, dass
> [mm]\newline[/mm]
> [mm]\phi(x) \cdot x > 0[/mm], denn [mm]0 < \dfrac{\phi(x)^{2}}{2} < \phi(x) \cdot x[/mm]
> [mm]\forall[/mm] [mm]x \in \partial B(0,1)[/mm].
>
> Laut Musterlösung folgt daraus nun sofort, dass für
> kleine [mm]t>0[/mm] die stetige Abbildung [mm]\Psi(x):=x-t\Phi(x)[/mm] [mm]B(0,1)[/mm]
> in sich selbst abbildet und wir laut dem Brouwerschen
> Fixpunktsatz einen Fixpunkt [mm]x^{*}[/mm] finden können. Was sagt
> uns, dass [mm]\phi(x) \cdot x > 0[/mm] [mm]\forall[/mm] [mm]x \in \partial B(0,1)[/mm]?
> Wieso folgt daraus die Selbstabbildung???
[mm]\phi(x) \cdot x > 0[/mm] bedeutet, dass [mm] $\phi(x)$ [/mm] auf der Kugeloberfläche nach außen zeigt. Daher zeigt [mm] $-t\phi(x)$ [/mm] nach innen. Wegen der Stetigkeit gilt das auch für Punkte in einer Umgebung eines Punktes der Oberfläche. Was folgt also für den Betrag von [mm]x-t\phi(x)[/mm]?
(Du kannst das auch explizit nachrechnen, indem du [mm] $\phi(x)$ [/mm] als Summe zweier orthogonaler Vektoren schreibst, von denen einer parallel zu x ist.)
> Ist [mm]x^{*}[/mm] Fixpunkt von [mm]\Psi[/mm], dann gilt [mm]\Phi(x^{*})=0[/mm],
> denn
>
> [mm]\Psi(x^{*})=x^{*}[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow x^{*}=x^{*}-t \Phi(x^{*})[/mm]
> [mm]\newline[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow[/mm]
> [mm]0=t\Phi(x^{*})[/mm]
> [mm]\newline[/mm]
> [mm]\overset{t \neq 0}{\Leftrightarrow}[/mm]
> [mm]0=\Phi(x^{*})[/mm]
> [mm]\newline[/mm]
> [mm]\newline[/mm]
> Nun verallgemeinern wir das, was wir rausgefunden haben:
> Im allgemeinen Fall kann man es durch eine Translation
> immer schaffen [mm]p[/mm] in den Ursprung zu legen. Dann gehört [mm]0[/mm]
> zum Innern von S (Warum das??? 0 muss doch nicht
> zwangsläufig zu S gehören, oder doch?).
Durch eine Verschiebung des Koordinatensystem ändert sich doch nichts daran, dass p in S liegt!
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:05 Do 03.04.2014 | | Autor: | Orchis |
Hey, super, dass du mir hilfst!!!
der Betrag [mm] x-t\Phi(x) [/mm] ist dann kleiner als 1, d.h. Phi bildet wieder in sich selbst ab. Es tut mir aber wirklich sehr Leid, dass ich immer noch nicht so ganz verstehe, warum [mm] \Phi(x)*x>0 [/mm] heißt, dass das Vektorfeld nach außen zeigt...Könntest du das noch etwas näher erklären oder umformulieren? Ich seh das gerade einfach nicht...entschuldige!
Vielen Dank und grüße,
Orchis
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Do 03.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du das Skalarprodukt a*b nimmst bekommst du die komponente von a in b Richtung. ist das >0 so weist a grob in richtung b.
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:16 Do 03.04.2014 | | Autor: | Orchis |
Danke sehr, nun ist es klar geworden!!! :)
Viele Grüße
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