Nullstellen eines Polynomes < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:34 Do 21.07.2011 | | Autor: | Hybris |
| Aufgabe | | [mm] x^{5} [/mm] - [mm] x^{4} [/mm] - [mm] 3x^{3} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] + 2x +1 |
Hallo.
Ich habe vor, meine Kurvenduskussions"fähigkeiten" wieder etwas frisch zu machen :)
Ich versuche den oben genannten Polynomen zu untersuchen. Ich habe die Symmetrieverhalten gezeigt und möchte nun die Nullstellen berechnen. Was mir dabei in den Sinn kommt, ist die Polynomendivision. Um diese zu beginnen, muss ich ja min. eine Nullstelle wissen, um das Ganze z.B. durch (x-1) teilen zu können...... Da meine Wertetabelle mich nicht auf die Nullstelle bringt...... meine Frage, wie setze ich hier weiter an?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Do 21.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
wo hast du diese Aufgabe her? Die Funktion besitzt nach meiner Rechnung (mittels CAS) drei Nullstellen, von denen keine rational ist. Nullste raten und Polynomdivision scheiden also aus.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Do 21.07.2011 | | Autor: | Hybris |
guten morgen Diophant :)
wie gehe ich dann vor um hier nussltellen ermitteln zu können?
Gruß
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Hallo Hybris,
> guten morgen Diophant :)
>
> wie gehe ich dann vor um hier nussltellen ermitteln zu
> können?
Nussltellen?
Hübsch 
Hier wirst du um ein Näherungsverfahren wohl kaum herumkommen, um die Nullstellen näherungsweise zu bestimmen.
Es bietet sich etwa das Newtonverfahren oder das Bisektionsverfahren an.
Die Funktion ist auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig.
Weiter ist [mm]f(-1)<0, f(0)>0, f(1)<0, f(3)>0[/mm]
Also liegt jeweils eine Nullstelle zwischen [mm]-1[/mm] und [mm]0[/mm], zwischen [mm]0[/mm] und [mm]1[/mm] und zwischen [mm]1[/mm] und [mm]3[/mm]. Warum ist das so?
Zudem könntest du dir das Monotonierverhalten der Funktion mal angucken ...
Sollst du denn die Nullstellen wirklich explizit angeben oder nur zeigen, dass die Funktion welche hat?
>
> Gruß
>
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Do 21.07.2011 | | Autor: | Hybris |
hallo. an der stelle siege ich aus :)
die verfahren sind mir noch nicht bekannt. :)
Danke für die Unterstützung.
Gruß
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> hallo. an der stelle steige ich aus :)
> die verfahren sind mir noch nicht bekannt. :)
Naja, das ist deine Entscheidung.
Es wäre aber nicht schwer, die Nullstellen auch durch
"systematisches Probieren" aufzusuchen. Falls du in
deinem Taschenrechner die Formel für f(x) speichern
kannst, gibt das auch nicht viel Arbeit.
Beispiel:
Es ist f(0)=1 und f(1)=-1 . Irgendwo zwischen 0 und 1
muss also eine Nullstelle liegen. Probieren wir's mal
mit x=0.5: f(0.5)=1.34>0
Man sieht nun, dass zwischen 0.5 und 1 eine Nullstelle
sein muss. Weitere Versuche:
x = 0.8: f(0.8) = 0.34 > 0
x = 0.9: f(0.9) = -0.26 < 0
x = 0.85: f(0.85) = 0.057 > 0
x = 0.86: f(0.86) = -0.004349 < 0
x = 0.859: f(0.859) = 0.00183 > 0
x = 0.8593: f(0.8593) = -0.00002 < 0
So kommt man mit nicht allzu großem Aufwand zu
einem brauchbaren Näherungswert für eine Nullstelle.
LG Al-Chw.
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