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Forum "Schul-Analysis" - Nullstellen einer Funktion
Nullstellen einer Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Nullstellen einer Funktion: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:31 Mi 19.01.2005
Autor: walter36

Hallo!

Ich bin gerade dabei eine Kurvendiskussion zu folgender Fkt. durchzuführen:

[mm] ((x^{3})/(e^{x})) [/mm] +5         e ist dabei natürlich die eulersche Zahl (2,71...)

Extrempunkte und Wendepunkte hat man ja recht schnell, da bei den Ableitungen [mm] e^{x} [/mm] wegfällt, aber wie bestimme ich rechnerisch die Nullstelle(n) dieser Fkt. ? (ein PC-Programm gibt mir (-1,16117/0) als NST an)

Dann hab ich da ja  [mm] x^{3}=-5 [/mm] * [mm] e^{x} [/mm] ;aber wie kann man das nach x lösen?

Vielen Dank im Voraus

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Nullstellen einer Funktion: Näherungsverfahren?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Mi 19.01.2005
Autor: informix

Hallo Walter,
[willkommenmr]
> Hallo!
>  
> Ich bin gerade dabei eine Kurvendiskussion zu folgender
> Fkt. durchzuführen:
>  
> [mm]((x^{3})/(e^{x}))[/mm] +5         e ist dabei natürlich die
> eulersche Zahl (2,71...)
>  
> Extrempunkte und Wendepunkte hat man ja recht schnell, da
> bei den Ableitungen [mm]e^{x}[/mm] wegfällt, [verwirrt]

wieso denn das?
zeigst du uns mal deine Rechnung?

> aber wie bestimme ich
> rechnerisch die Nullstelle(n) dieser Fkt. ? (ein
> PC-Programm gibt mir (-1,16117/0) als NST an)   [ok]
>  
> Dann hab ich da ja  [mm]x^{3}=-5[/mm] * [mm]e^{x}[/mm] ;aber wie kann man das
> nach x lösen?
>  

[mm] $\bruch{x^3}{e^x}+5 [/mm] = 0$
Mir fällt im  Moment nur ein Naherungsverfahren dazu ein...

Bezug
                
Bezug
Nullstellen einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:49 Do 20.01.2005
Autor: Loddar

Guten Morgen informix,


> [verwirrt] wieso denn das?
> zeigst du uns mal deine Rechnung?

Ich nehme mal an, Walter meint, daß das [mm] $e^x$ [/mm] indirekt wegfällt durch Multiplikation mit [mm] $e^x \not= [/mm] 0$.

In den Ableitungen an sich bleibt uns das [mm] $e^x$ [/mm] natürlich noch erhalten ...


@Walter:
Auch ich sehe hier lediglich Näherungsverfahren zur Bestimmung der Nullstellen (z.B. MBNewton-Verfahren oder []Regula Falsi).


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Nullstellen einer Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:08 Do 20.01.2005
Autor: regine

Hallo,

ich finde die Formulierung "da bei den Ableitungen $ [mm] e^{x} [/mm] $ wegfällt" äußerst ungünstig gewählt, da hier im Forum immer wieder Leute sind, die noch unsicher im Bilden von Ableitungen sind und darunter sicherlich auch verstehen würden, dass in den Ableitungen einfach kein [mm] $e^x$ [/mm] mehr vorkommt.

Daher werde ich hier eben kurz die beiden Ableitung berechnen und angeben. :-)

$ f(x) = [mm] \bruch{x^3}{e^x} [/mm] + 5 = [mm] x^3 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] + 5 $

$ f'(x) = [mm] (x^3 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] + 5)' $
$ = [mm] (x^3 [/mm] * [mm] e^{-x})' [/mm] + (5)' $
$ = [mm] ((x^3)' [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] + [mm] x^3 *(e^{-x})' [/mm] ) + (5)' $
$ = 3 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] +  [mm] x^3 [/mm] * (-1) * [mm] e^{-x} [/mm] + 0 $
$ = 3 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] -  [mm] x^3 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] $
$ (= [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] (3 - x)) $

$ f''(x) = (3 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] - [mm] x^3 [/mm] * [mm] e^{-x})' [/mm] $
$ = (3 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x})' [/mm] - [mm] (x^3 [/mm] * [mm] e^{-x})' [/mm] $
$ = 3 * [mm] ((x^2)' [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] * [mm] (e^{-x})') [/mm] - [mm] ((x^3)' [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] + [mm] x^3 [/mm] * [mm] (e^{-x})') [/mm] $
$ = 3 * (2 * x * [mm] e^{-x} [/mm] + [mm] x^2 [/mm] * (-1) * [mm] e^{-x}) [/mm] - (3 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] + [mm] x^3 [/mm] * (-1) * [mm] e^{-x}) [/mm] $
$ = 3 * (2 * x * [mm] e^{-x} [/mm] - [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x}) [/mm] - (3 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] - [mm] x^3 [/mm] * [mm] e^{-x}) [/mm] $
$ = (6 * x * [mm] e^{-x} [/mm] - 3 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x}) [/mm] - (3 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] - [mm] x^3 [/mm] * [mm] e^{-x}) [/mm] $
$ = 6 * x * [mm] e^{-x} [/mm] - 3 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] - 3 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] + [mm] x^3 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] $
$ = 6 * x * [mm] e^{-x} [/mm] - 6 * [mm] x^2 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] + [mm] x^3 [/mm] * [mm] e^{-x} [/mm] $
$ = x * [mm] e^{-x} [/mm] * ( 6 - 6 * x + [mm] x^2) [/mm] $

Viele Grüße,
Regine.
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