Nullstellen des Polynoms < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Di 05.07.2011 | | Autor: | saberdam |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms f(X) = [mm] X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+2X+1 \in [/mm] C[X]
und deren Vielfachheiten. |
Hallo,
Ich habe hier ein Problem, dass ich nicht genau weiß wie ich vorgehen kann oder soll? Kann ich eine Nullstelle anhand der Polynomdivision rechnen und danach die anderen Nullstellen bestimmen? Da das ganze sich im komplexen Bereich abspielt, weiß ich halt nicht was zu tun ist und worauf ich achten muss.
Oder muss ich hier nach dieser Regel arbeiten:
Jedes Polynom f(z) mit komplexen Koeffizienten [mm] a_{k} \in [/mm] C, i = 0,...,n [mm] \in [/mm] N, [mm] a_{n} [/mm] ≠ 0, z [mm] \in [/mm] C der
Form f(z) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1}z [/mm] + [mm] a_{2}z^{2} [/mm] + ... + [mm] a_{n} z^{n}
[/mm]
läßt sich als ein Produkt von n Linearfaktoren schreiben:
f(z) = [mm] a_{n}(z [/mm] − [mm] b_{1})(z [/mm] − [mm] b_{2} [/mm] ) ⋅ ⋅ ⋅ (z − [mm] b_{n})
[/mm]
Die komplexen Zahlen [mm] b_{k} \in [/mm] C, k = 1,...,n /in N sind die Nullstellen von f(z).
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 Di 05.07.2011 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms f(X) =
> [mm]X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+2X+1 \in[/mm] C[X]
> und deren Vielfachheiten.
> Hallo,
>
> Ich habe hier ein Problem, dass ich nicht genau weiß wie
> ich vorgehen kann oder soll? Kann ich eine Nullstelle
> anhand der Polynomdivision rechnen und danach die anderen
> Nullstellen bestimmen? Da das ganze sich im komplexen
> Bereich abspielt, weiß ich halt nicht was zu tun ist und
> worauf ich achten muss.
>
> Oder muss ich hier nach dieser Regel arbeiten:
>
> Jedes Polynom f(z) mit komplexen Koeffizienten [mm]a_{k} \in[/mm] C,
> i = 0,...,n [mm]\in[/mm] N, [mm]a_{n}[/mm] ≠ 0, z [mm]\in[/mm] C der
> Form f(z) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}z[/mm] + [mm]a_{2}z^{2}[/mm] + ... + [mm]a_{n} z^{n}[/mm]
>
> läßt sich als ein Produkt von n Linearfaktoren
> schreiben:
> f(z) = [mm]a_{n}(z[/mm] − [mm]b_{1})(z[/mm] − [mm]b_{2}[/mm] ) ⋅ ⋅ ⋅ (z −
> [mm]b_{n})[/mm]
> Die komplexen Zahlen [mm]b_{k} \in[/mm] C, k = 1,...,n /in N sind
> die Nullstellen von f(z).
>
Hallo,
durch scharfes Hinschauen sieht man die Zerlegung
[mm] X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+2X+1
[/mm]
[mm] =X^{4}+2X^{3}+1X^{2}+1X^{2}+2X+1
[/mm]
[mm] =X^2(X^2+2X+1)+1*(X^2+2X+1)
[/mm]
[mm] =(X^2+1)(X+1)^2
[/mm]
[mm] =(X+i)(X-i)(X+1)^2
[/mm]
Gruß Abakus
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Di 05.07.2011 | | Autor: | saberdam |
Danke für eure Antworten. Wobei mir die zweite Antwort etwas mehr gebracht hat, da ich dort was handfestes habe.
Und das alles so flott. Nochmals Danke!
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> Bestimmen Sie die Nullstellen des Polynoms f(X) =
> [mm]X^{4}+2X^{3}+2X^{2}+2X+1 \in[/mm] C[X]
> und deren Vielfachheiten.
Hallo,
falls Dein Auge etwas trüber ist als abakus' Auge, empfehle ich Dir diese Vorgehensweise:
dies ist eine Übungsaufgabe, und Übungsaufgaben sind oft sehr freundlich.
Freundlich wäre es hier, wenn es ganzzahlige Nullstellen gäbe.
Dein Polynom ist normiert, dh. der Leitkoeffizient ist =1. Wenn solch ein Polynom ganzzahlige Nullstellen hat, dann sind diese Teiler des Gliedes "ohne x".
Probiere hier also die negativen und positiven Teiler von 1.
Wenn Du eine Nullstelle gefunden hast, etwa [mm] a_1=-1, [/mm] so dividiere Dein Polynom durch (x-(-1)). (Polynomdivision)
Du erhältst ein Polynom [mm] f_3 [/mm] dritten Grades und weißt nun [mm] f(x)=(x-(-1))*f_3(x).
[/mm]
Untersuche nun wie zuvor f_3auf Nullstellen. Eine weitere Polynomdivision bringt Dir eine quadratische Gleichung, die Du löst. Damit hast Du dann alle 4 Nullstellen gefunden.
Gruß v. Angela
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