Nullstellen bestimmen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mo 09.07.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
ich möchte bei folgender Gleichung die Nullstellen bestimmen:
[mm] x^4-2x^2+1=0
[/mm]
Hierzu habe ich dann zunächst [mm] x^2 [/mm] = u substituiert:
[mm] u^2-2u+1=0
[/mm]
[mm] (u-1)^2 [/mm] = 0
[mm] u_{1,2} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 1
Rücksubstituiert ergibt sich doch dann:
[mm] x_{1,2} [/mm] = 1
[mm] x_{3,4} [/mm] = -1
Ist das so vom Lösungsweg und der Schreibweise her richtig, oder muss ich etwas verändern?
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mo 09.07.2018 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> ich möchte bei folgender Gleichung die Nullstellen
> bestimmen:
>
> [mm]x^4-2x^2+1=0[/mm]
>
> Hierzu habe ich dann zunächst [mm]x^2[/mm] = u substituiert:
>
> [mm]u^2-2u+1=0[/mm]
>
> [mm](u-1)^2[/mm] = 0
>
> [mm]u_{1,2}[/mm] = [mm]\pm[/mm] 1
Nein, die Gleichung [mm] (u-1)^2=0 [/mm] hat nur die Lösung u=1.
>
> Rücksubstituiert ergibt sich doch dann:
>
> [mm]x_{1,2}[/mm] = 1
> [mm]x_{3,4}[/mm] = -1
>
Na ja, Deine ursprüngliche Gleichung hat dann die Lösungen 1 und -1.
> Ist das so vom Lösungsweg und der Schreibweise her
> richtig, oder muss ich etwas verändern?
>
> Danke für die Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Di 10.07.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Vielen Dank!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:49 Mo 09.07.2018 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dom!
In diesem speziellen Fall kannst Du auch auf die Substitution verzichten, indem Du gleich an die binomischen Formeln denkst:
[mm]x^4-2*x^2+1 \ = \ 0[/mm]
[mm]\gdw \ \ \left(x^2-1\right)^2 \ = \ 0[/mm]
[mm]\gdw \ \ x^2-1 \ = \ 0[/mm]
[mm]\gdw \ \ (x+1)*(x-1) \ = \ 0[/mm]
usw.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:53 Mo 09.07.2018 | | Autor: | Diophant |
Hallo Loddar,
> In diesem speziellen Fall kannst Du auch auf die
> Substitution verzeichten, indem Du gleich an die
> binomischen Formeln denkst:
Soweit korrekt.
> [mm]x^4-2*x^2+1 \ = \ 0[/mm]
>
> [mm]\gdw \ \ \left(x^2-1\right)^2 \ = \ 0[/mm]
>
> [mm]\gdw \ \ x^2-1 \ = \ 0[/mm]
Diese Äquivalenz zu benutzen ist hier falsch und zwar auf eine ziemlich fatale Weise, denn:
> [mm]\gdw \ \ (x+1)*(x-1) \ = \ 0[/mm]
>
Du bekommst hier nur zwei Lösungen heraus, hast also die algebraischen Vielfachheiten platt gemacht.
Richtig wäre:
[mm]x^4-2x+1=(x^2-1)^2=(x-1)*(x+1)*(x-1)*(x+1)=0
\Rightarrow
x_{1,2}=1\ ,\ x_{3,4}=-1 [/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:58 Di 10.07.2018 | | Autor: | fred97 |
An der Antwort von Loddar gibt es nichts zu meckern !
Gefragt war nach den Lösungen der Gleichung
$ [mm] x^4-2x^2+1=0 [/mm] $
Wir haben
$ [mm] x^4-2x^2+1=0 \gdw (x^2-1)^2=0 \gdw x^2=1 \gdw [/mm] x [mm] \in \{-1,1\}$
[/mm]
Daran ist nichts falsch, schon gar nicht in fataler Weise.
Ich würde Diophant recht geben, wenn auch noch nach der Vielfachheit der Nullstellen gefragt worden wäre, was aber nicht der Fall war.
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Eine analoge Bemerkung wollte ich auch gerade machen ...
LG , Al
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