Nullstellen bestimme mit Rolle < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Hmm, ich komm hier net weiter:
Die Aufgabe ist von : http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/aufgabe/aufgabe376/variante1/
Untersuchen Sie mit Hilfe des Satzes von Rolle, wieviele reelle Lösungen die Gleichung [mm] 2^{x}=1+x^{2} [/mm] hat.
Dazu soll man die beiden ersten Ableitungen von [mm] f(x)=2^{x}-1-x^{2} [/mm] betrachten.... und berechnen Sie f(x) für x [mm] \in \{1,2,3,4,5\}
[/mm]
Hmm, o.k, [mm] f'(x)=2^{x}*ln(2)-2x
[/mm]
[mm] f''(x)=2^{x}*ln(2)^{2}-2
[/mm]
Aber nun ?
Der Satz von Rolle sagt ja aus, wenn f in [a,b] stetig und diffbar ist, und f(a)=f(b) gilt, dann gibt es ein f'(c)=0.
Maximum wird irgendwoo erreicht.
Oder halt auch, wenn f(a)=f(b)=0, dann gibt es ein f'(c)=0.
c zwischen a und b jeweils...
Aber ich muss ja praktisch mit der Aufgabe lösen, wie oft f(a)=f(b)=f(d)=.... =0 gilt ?
Wenn ich nun die Lösungen für f'(x)=0 hätte, angenommen es wären 2 an der Zahl, dann müßte ja f(x) drei Nullstellen haben, oder ?
Ist das der Weg ? Meiner Meinung nach, hat aber f'(x) gar keine Nullstelle, aber laut Funktionsplotter ja, irgendwo bei 0,5...
Ich bekomm da nur einen Widerspruch.....
Jemand ne Idee ?
Danke
Faenôl
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Hallo Faenol,
wenn jedesmal zwischen zwei Nullstellen eine waagereachte Tangente liegt, dann kannst du mit Hilfe der Nullstellen von f' die mögliche Anzahl der Nullstellen von f einschränken. Ebenso funktioniert das mit f'' für f'.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:16 Do 03.02.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Also dein Tipp ist bestimmt guuut, aber so ganz verstehe ich ihn anscheinend net !
Vorgehensweise also:
- Nullstellen von allen drei Funktionen ?
Wenn dann a<c<b gilt
mit f(a)=f(b)=0 und f'(c)=0 dann müßte doch eigene Tangente zwischen zwei Nullstellen sein...
Aber so ganz hab ich das ehrlich gesagt net verstanden...
Faenôl
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Hallo Faenol,
ich hab mich wahrscheinlich zu schwammig ausgedrückt.
Zwischen zwei Nullstellen gibt es mindestens einen Extremwert. Daraus folgt, dass, wenn n die Anzahl der Nullstellen und e die Anzahl der Extremwerte ist:
[mm] e\ge(n-1) [/mm] (d.h. in jedem Zwischenraum liegt mindestens ein Extremum)
Umgekehrt ist also [mm] n\le(e+1) [/mm] (logisch, nicht wahr?)
Darauf wollte ich hinaus. Eine Funktion mit 5 Extremwerten kann nicht mehr als 6 Nullstellen haben.
Das kann man natürlich einmal ableiten und bekommt für e und die Anzahl w der Wendepunkte eine gleichwertige Beziehung:
[mm] w\ge(e-1) [/mm] ,d.h. [mm] e\le(w+1)
[/mm]
Warum das so ist, kannst du dir selbst überlegen.
Für deine Aufgabe ist also wichtig festzustellen, wie viele Nullstellen f'' hat (Ergebnis: 1). Damit ist die Anzahl der Nullstellen von f' höchstens 2 und die Anzahl der Nullstellen der Funktion höchstens drei.
Mit deinen Funktionswerten im Bereich 1 bis 5 kannst du überprüfen, wie viele Nullstellen tatsächlich vorhanden sind.
Das Ganze klingt zwar sehr kompliziert, ist in Wirklichkeit aber eine Kette von lauter kleinen Bausteinen, die für sich allen ganz leicht einzusehen sind. Nur das Zusammenfügen ist so schwer. Also nicht den Sand in den Kopf stecken... 
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Jepp, das ist irgendwie logisch !
Danke Hugo für deine Mühe, habs nun kapiert !
Faenôl
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