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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Stern123 |
| Aufgabe | Finden Sie die Anzahl der Nullstellen samt Vielfachheiten von der Funktion f auf der Einheitskreislinie.
(i) f(z) = [mm] z^{4} [/mm] - 5z + 1
(ii) f(z) = [mm] z^{6} [/mm] - 6z + 10 |
Ich habe mal versucht, das folgendermaßen zu lösen:
i) Def. g(z) = -5z + 1
|f(z) - g(z)| = [mm] |z^{4}| \le [/mm] 1 < 4 = 5|z| - 1 [mm] \le [/mm] |-5z+1| = |g(z)| [mm] \le [/mm] |g(z)| + |f(z)|
Da g eine Nullstelle der Vielfachheit 1 hat, hat also f auch eine Nullstelle der Vielfachheit 1.
Habe ich das so richtig verstanden? Also muss ich quasi die Funktion g nur so definieren, dass die Gleichung |f(z) - g(z)| < |g(z)| + |f(z)| erfüllt ist und kann dann die Nullstellen mit deren Vielfachheiten von g ablesen?
für ii) hätte ich dann:
g(z) = -6z + 10
|f(z) - g(z)| = [mm] |z^{6}| \le [/mm] 1 < 4 = -6|z| + 10 [mm] \le [/mm] |-6z+10| = |g(z)| [mm] \le [/mm] |g(z)| + |f(z)|
Also eine Nullstelle der Vielfachheit 1 für g bzw. f.
Weiß jemand Bescheid?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Finden Sie die Anzahl der Nullstellen samt Vielfachheiten
> von der Funktion f auf der Einheitskreislinie.
> (i) f(z) = [mm]z^{4}[/mm] - 5z + 1
> (ii) f(z) = [mm]z^{6}[/mm] - 6z + 10
> Ich habe mal versucht, das folgendermaßen zu lösen:
> i) Def. g(z) = -5z + 1
> |f(z) - g(z)| = [mm]|z^{4}| \le[/mm] 1 < 4 = 5|z| - 1 [mm]\le[/mm] |-5z+1|
> = |g(z)| [mm]\le[/mm] |g(z)| + |f(z)|
> Da g eine Nullstelle der Vielfachheit 1 hat, hat also f
> auch eine Nullstelle der Vielfachheit 1.
> Habe ich das so richtig verstanden? Also muss ich quasi
> die Funktion g nur so definieren, dass die Gleichung |f(z)
> - g(z)| < |g(z)| + |f(z)| erfüllt ist und kann dann die
> Nullstellen mit deren Vielfachheiten von g ablesen?
>
> für ii) hätte ich dann:
> g(z) = -6z + 10
> |f(z) - g(z)| = [mm]|z^{6}| \le[/mm] 1 < 4 = -6|z| + 10 [mm]\le[/mm]
> |-6z+10| = |g(z)| [mm]\le[/mm] |g(z)| + |f(z)|
> Also eine Nullstelle der Vielfachheit 1 für g bzw. f.
Ist es wirklich so, dass du nur Nullstellen
[mm] z_i [/mm] auf der Einheitskreislinie suchst, also
[mm] f(z_i)=0 [/mm] und [mm] |z_i|=1 [/mm] ?
In diesem Fall kann man leicht zeigen,
dass es überhaupt keine solchen gibt,
bei beiden Gleichungen.
Gruß Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:13 Mi 15.07.2009 | | Autor: | Stern123 |
Also in der Aufgabe steht eigentlich:
... von der Funktion f in D.
D haben wir in der Vorlesung folgendermaßen definiert:
D = {z [mm] \in \IC: [/mm] |z| < 1}
Sorry, dass ich mich unklar ausgedrückt habe. Es macht ja einen Unterschied, ob ich "auf" oder "in" schreibe ...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:54 Do 16.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Finden Sie die Anzahl der Nullstellen samt Vielfachheiten
> von der Funktion f auf der Einheitskreislinie.
> (i) f(z) = [mm]z^{4}[/mm] - 5z + 1
> (ii) f(z) = [mm]z^{6}[/mm] - 6z + 10
>
> Ich habe mal versucht, das folgendermaßen zu lösen:
> i) Def. g(z) = -5z + 1
> |f(z) - g(z)| = [mm]|z^{4}| \le[/mm] 1 < 4 = 5|z| - 1 [mm]\le[/mm] |-5z+1|
> = |g(z)| [mm]\le[/mm] |g(z)| + |f(z)|
Hier fehlt: $|z| = 1$. Ansonsten gilt das naemlich nicht alles so.
> Da g eine Nullstelle der Vielfachheit 1 hat, hat also f
> auch eine Nullstelle der Vielfachheit 1.
> Habe ich das so richtig verstanden? Also muss ich quasi
> die Funktion g nur so definieren, dass die Gleichung |f(z)
> - g(z)| < |g(z)| + |f(z)| erfüllt ist und kann dann die
> Nullstellen mit deren Vielfachheiten von g ablesen?
Fast: du kannst nur die Summe aller Vielfachheiten von Nullstellen in dem Gebiet ablesen. Da es nur eine Nullstelle der Ordnung 1 gibt reicht das hier voellig an Informationen aus, aber wenn $g$ jetzt eine Nullstelle der Ordnung 2 und eine der Ordnung 3 haette, wuesstest du nur dass $f$ in $D$ 5 Nullstellen mit Vielfachheiten gezaehlt hat.
> für ii) hätte ich dann:
> g(z) = -6z + 10
> |f(z) - g(z)| = [mm]|z^{6}| \le[/mm] 1 < 4 = -6|z| + 10 [mm]\le[/mm]
> |-6z+10| = |g(z)| [mm]\le[/mm] |g(z)| + |f(z)|
> Also eine Nullstelle der Vielfachheit 1 für g bzw. f.
Vorsicht! $g$ hat in $D$ gar keine Nullstelle, da $-6z + 10 = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] z = 10/6 > 1$.
Damit hat $f$ also gar keine Nullstelle in $D$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:28 Do 16.07.2009 | | Autor: | Stern123 |
Ah, okay. Jetzt hab ich's verstanden.
Vielen Dank. 
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