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Nullstellen Parabelschar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Fr 02.06.2006
Autor: Fschmidt

Aufgabe
ft(x)= [mm] 3-t*ln(x^2+t) [/mm]

Für welche ganzzahligen WErte von t besitzt ft(x) Schnittpunkte mit der x-Achse?

Hallo,
für die oben geanannte Teilaufgabe eins stelle ich mir den Lösungsansatz so vor.
Ich setzte die Funktion = 0 um einen Schnittpunkt zu erhalten:

0 = [mm] 3-t*ln(x^2+t) [/mm]

Von Denkansatz hätte ich jetzt gerne die Funktion nach x umgestellt. Da bekomme ich:

x=  [mm] \pm \wurzel{e^{ \bruch{3}{t}}-t} [/mm]

Eine Lösung gibt es nun nur wenn der Ausdruck unter der Wurzel > 0 ist.
Jedoch kann ich das nicht exakt lösen, da ich t nicht isolieren kann:

[mm] e^{ \bruch{3}{t}}-t [/mm] = 0

Hier komme ich nicht weiter.
Ist mein Denkansatz bereits falsch oder habe ich einen Rechenfehler.
Ich bin um jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße,
Florian

        
Bezug
Nullstellen Parabelschar: nur numerisch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Fr 02.06.2006
Autor: Disap


> ft(x)= [mm]3-t*ln(x^2+t)[/mm]
>  
> Für welche ganzzahligen WErte von t besitzt ft(x)
> Schnittpunkte mit der x-Achse?
>  Hallo,

Servus.

>  für die oben geanannte Teilaufgabe eins stelle ich mir den
> Lösungsansatz so vor.
>  Ich setzte die Funktion = 0 um einen Schnittpunkt zu
> erhalten:

[ok]

> 0 = [mm]3-t*ln(x^2+t)[/mm]

[ok]

> Von Denkansatz hätte ich jetzt gerne die Funktion nach x
> umgestellt. Da bekomme ich:
>  
> x=  [mm]\pm \wurzel{e^{ \bruch{3}{t}}-t}[/mm]

[daumenhoch]

> Eine Lösung gibt es nun nur wenn der Ausdruck unter der
> Wurzel > 0 ist.

[ok]

>  Jedoch kann ich das nicht exakt lösen, da ich t nicht
> isolieren kann:
>  
> [mm]e^{ \bruch{3}{t}}-t[/mm] = 0

Eigentlich heißt es ja:

[mm] $e^{ \bruch{3}{t}}-t [/mm] > 0$

> Hier komme ich nicht weiter.

Diese Ungleichung musst du numerisch lösen. Z. B. mit dem Newtonverfahren.
Es gibt zwei Nullstellen, grob abgelesen lauten diese

[mm] t_1 \approx -5.17*10^{-25} [/mm]
[mm] t_2 \approx [/mm]  2.85

Die Ergebnisse dürfen nun also [mm] t<-5.17*10^{-25} [/mm] sein und müssen ebenfalls kleiner als 2.85 sein.
Somit ergeben sich die Lösungen für alle ganzzahligen t < 0 (also -1,-2,-3 usw) und t=+2 sowie t=+1

t=0 kann nicht enthalten sein, weil wenn du t=0 mal in die Funktionsgleichung einsetzt, erkennst du, dass die Funktion y=3 lautet. Das macht wenig Sinn. Keine Nullstelle

> Ist mein Denkansatz bereits falsch oder habe ich einen
> Rechenfehler.

Nö, der stimmt.

> Ich bin um jede Hilfe dankbar.
>  Viele Grüße,
>  Florian

Liebe Grüße
Disap

Bezug
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