Nullstellen - Zweck? < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:56 Sa 08.01.2005 | | Autor: | DNemesis |
Hi @ all,
habe nur gerade eine kurze Frage. Und zwar...
Man benötigt beim zeichnen einer Parabel ohne Nutzung der Wertetabelle den Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse und den Scheitelpunkt. Aber was benötigt man noch?
Eventuell Nullstellen? Wozu ist die Nullstellenberechnung eigentlich gut?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke für eure Hilfe im voraus, Gruss DNemesis
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Also Nullstellen sind relativ leicht auszurechnen und zum Zeichnen einer Parabel auf alle Fälle hilfreich!!!
Du weißt ja sicher dass es auch Hyperbeln..... gibt!
Jeder dieser besonderen Graphen geht meist irgendwo ins [mm]\infty[/mm]!
Berechne also den LIMES!!!!
Dann hast du den Scheitelpunkt und die Nullstellen für den "Bauch"
und durch den Limes weißt du wohin die Schenkel gehen!!!
Zur Frage: "Wozu ist die Nullstellenberechnung eigentlich gut?"
Du bist ja in der Mathematik der 11. Klasse noch am Anfang!!
Später in diesem Jahr wirst du im Zusammenhang mit:
Graphenzeichnen ;), ABLEITUNG, 2.ABLEITUNG, 3.ABLEITUNG
die Nullstellen wieder finden!!!
Sie sind wichtig bei der so gennanten Kurvendiskussion!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Disap |
Jedes Ziel einer Kurvendiskussion ist natürlich der Graph.
Für ein schnelles Zeichnen des Graphen wäre natürlich die Wertetabelle super. Aber die gesamte Kurvendiskussion erleichtert einem natürlich das Zeichnen. Z.B. das Symmetrieverhalten, durch die Kurvendiskussion kommt man zur Erkenntnis, dass [mm] x^2 [/mm] Achsensymmetrisch ist, deswegen müsste man nur noch Werte für eine Seite ausrechnen. Das erleichtert einem natürlich die Arbeit.
Prüfen, ob Achsensymmetrie vorliegt, wäre natürlich super, Unendlichkeitsverhalten auch (kann man ja sofort an der Funktionsgleichung erkennen), Y-Achsenabschnitt sieht man ja auch eigentlich sofort.
Ich würde empfehlen, bei einer Parabel lieber die Nullstellen auszurechnen, als den Scheitelpunkt, denn hat man die Nullstellen, berechnet sich quasi automatisch der Scheitelpunkt:
[mm] \bruch{x_{1}+x_{2}}{2} [/mm] = [mm] x_{s}
[/mm]
Der X-Wert des Scheitelpunkts.
Zum Zeichnen würde bei einer achsensymmetrischen Parabel natürlich der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt reichen.
Aber: je genauer, desto besser.
Liebe Grüße Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Sa 08.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
> Ich würde empfehlen, bei einer Parabel lieber die
> Nullstellen auszurechnen, als den Scheitelpunkt, denn hat
> man die Nullstellen, berechnet sich quasi automatisch der
> Scheitelpunkt:
>
> [mm]\bruch{x_{1}+x_{2}}{2}[/mm] = [mm]x_{s}
[/mm]
> Der X-Wert des Scheitelpunkts.
Aber nur, falls diese Parabel 2. Grades auch Nullstellen hat.
> Zum Zeichnen würde bei einer achsensymmetrischen Parabel
> natürlich der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt reichen.
Wenn es um Parabeln 2. Grades geht, dann sind sie natürlich immer achsensymmetrisch bzgl. der senkrechten Gerade durch den Scheitelpunkt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Sa 08.01.2005 | | Autor: | Disap |
> > Ich würde empfehlen, bei einer Parabel lieber die
> > Nullstellen auszurechnen, als den Scheitelpunkt, denn hat
>
> > man die Nullstellen, berechnet sich quasi automatisch
> der
> > Scheitelpunkt:
> >
> > [mm]\bruch{x_{1}+x_{2}}{2}[/mm] = [mm]x_{s}
[/mm]
> > Der X-Wert des Scheitelpunkts.
>
> Aber nur, falls diese Parabel 2. Grades auch Nullstellen
> hat.
Stimmt, guter Beitrag.
> > Zum Zeichnen würde bei einer achsensymmetrischen Parabel
>
> > natürlich der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt
> reichen.
>
> Wenn es um Parabeln 2. Grades geht, dann sind sie natürlich
> immer achsensymmetrisch bzgl. der senkrechten Gerade durch
> den Scheitelpunkt.
Na da habe ich wieder zu engstirnig gedacht, ich meinte natürlich achsensymmetrisch zum Ursprung.
Nu, aber das macht mich etwas konfus. "Parabeln zweiten Grades", willst du mir damit sagen, dass es auch Parabeln dritten Gerades gibt?
Dazu habe ich nämlich nichts gefunden. Weder in meinem schönen Mathematikbuch noch in meiner Formelsammlung noch in der Mathebank:  Parabel
Grüße Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 So 09.01.2005 | | Autor: | Hannes |
Hi!
Nullstellenberechnung, ist doch:
z.B.
[mm] f(x)=16^4-40x^2+9
[/mm]
In diesem Fall benutzt man die Substitution? Da der Grad der Funktion ^4 ist.
Das wären dann ( z ist meine neue Variable, wobei z = [mm] x^2 [/mm] ist )
f(x) = [mm] 16z^2+40z+9
[/mm]
Nullstellen sind ( ausgerechnet mich PQ-Formel )
z = 39.77 oder z = 0.22
Wieder nach x umgewandelt
[mm] x^2 [/mm] = 39.77 oder [mm] x^2 [/mm] = 0.22
Wiederrum wurzel ziehen, damit nur noch x da ist.
x = 6.3 oder x = - 6.3 oder x = 0.46 oder x = -0.46
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 So 09.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi hannes
die PQ-formel anzuwenden ist hier ganz schlecht, da man das nur bei normierten polynomen machen darf, also pei polynomiellen ausdrücken der form [m] x^2 + px + q = 0 [/m] - wo also vor dem [mm] $x^2$ [/mm] kein von faktor mehr steht!
hier biette sich die mitternachtsformel an, oder du teilst den gesamnten ausdruck durch $16$, dann erhälst du ein normiertes quadratisches polynom und kannst die PQ-formel anwenden!
ich erhalte dann als lösung für die quadratische gleichung [m] z_1 = \frac{9}{4},\; z_2 = \frac{1}{4} [/m]. dein weiteres vorgehen ist dann ok!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 09.01.2005 | | Autor: | Hannes |
Hi,
thx für die Antwort, aber...
Unser Mathe-Lehrer meinte sogar noch zu uns, dass wir bei einer gleichung wo der höchste grad 2 ist die PQ anwenden können / sollen, damit wir die Nullstellen berechnen können!
Also Funktion, Substituion damit der höchste grad der funktion 2 wird, PQ Formel oder Quadratische Ergänzung dann die Wurzel ziehen, damit man wieder auf die Ursprungsvariable kommt.
Von der Mitternachtsformel hab ich noch nie was gehört *google*.
was ist denn an der PQ-Formel so schlecht, dass ich sie hier nicht anwenden soll?
Danke im voraus,
Hannes
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Zwischen p-q-Formel und Mitternachtformel besteht im Prinzip kein Unterschied. Meistens lernt man im Unterricht nur diejenige Formel, die der Lehrer selbst in der Schule gelernt hatte.
Vorteil von Mitternachtsformel: vor dem [mm]x^2[/mm] darf noch ein Vorfaktor stehen, was bei der p-q-Formel nicht erlaubt ist.
Wenn du andreas' Tipp befolgst und die Nullstellengleichung [mm]16z^2-40z+9=0[/mm] auf beiden Seiten durch 16 dividierst, dann kannst du auch die p-q-Formel anwenden.
Dabei fällt mir grad auf: wie heißt die Funktion denn nun genau? In deiner vorletzten Frage stand zuerst [mm]f(x)=16x^4-40x^2+9[/mm], und dann nach der Substitution [mm]f(z)=16z^2+40z+9[/mm].
Muss da vor der 40 ein plus, oder ein minus stehen? Durch die Substitution dürfte sich dieses Vorzeichen nämlich nicht ändern.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 So 09.01.2005 | | Autor: | Hannes |
Hi,
nee sry mein fehler hab mich verschrieben, das vorzeichen ändert sich nicht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:49 So 09.01.2005 | | Autor: | e.kandrai |
In beiden Fällen (ob plus, oder minus) würdest du für das z zwei Lösungen bekommen, aber bei der Rücksubstitution [mm]z \to x^2[/mm] würde in einem der beiden Fälle für x nicht mehr viel übrigbleiben...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mo 10.01.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo DNemesis,
wurdest Du hier eigentlich schon begrüßt?
Na, dann jetzt: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Sinn und Zweck von Nullstellenberechnungen:
Zudem werden auch andere Berechnungen auf Nullstellenberechnung zurückgeführt.
Zum Beispiel Berechnung von Schnittpunkten zweier Kurven [mm] $K_f$ [/mm] und [mm] $K_g$:
[/mm]
[mm] $K_f \cap K_g$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $f(x_S) [/mm] = [mm] g(x_S)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[mm] $f(x_S) [/mm] - [mm] g(x_S) [/mm] = 0$
Speziell für Deine Parabel sind die Nullstellen [mm] $x_N$ [/mm] einfach markante Punkte, die auch einfach zu zeichnen sind.
Grüße
Loddar
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Parabel