Nullstellen < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Do 15.09.2011 | | Autor: | Coxy |
| Aufgabe | | Nullstellen berechnen |
Hallo
ich soll bei dieser Funktion
[mm] f(x)=3*cos(2x^2)-3
[/mm]
die Nullstellen bestimmen
ich habe für x1 und x2 auch 0 null raus
nur wie stelle ich die allgemeine Gleichung auf um die Nullstellen zu bestimmen?
Bei cos(x) war es ja [mm] \bruch{\pi}{2}+Z*\pi
[/mm]
also habe ich [mm] Z=2x^2 [/mm] gesetzt
und daraus folgende allgemeine Gleichung ermittelt
[mm] 0+\wurzel{\bruch{1}{2} * Z}*\Pi
[/mm]
das stimmt so aber leider nicht.
Könnte mir jemand erklären warum? und wie ich es richtig machen kann?
freundliche Grüße
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Hallo, um die Nullstellen zu bestimmen ist ja zu lösen
[mm] 0=3*cos(2*x^{2})-3
[/mm]
[mm] 1=cos(2*x^{2})
[/mm]
an den Stellen 0; [mm] \pm2\pi; \pm4\pi; \pm6\pi; \pm8\pi [/mm] u.s.w. wird die Cosinusfunktion gleich 1
also ist zu betrachten
[mm] 0=2*x^{2} [/mm] ergibt [mm] x_0=0
[/mm]
[mm] 2\pi=2*x^{2} [/mm] ergibt [mm] x_0=\pm\wurzel{\pi}
[/mm]
[mm] 4\pi=2*x^{2} [/mm] ergibt [mm] x_0=\pm\wurzel{2\pi}
[/mm]
[mm] 6\pi=2*x^{2} [/mm] ergibt [mm] x_0=\pm\wurzel{3\pi}
[/mm]
u.s.w.
jetzt verallgemeinern
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Do 15.09.2011 | | Autor: | Coxy |
als allgemeine Gleichung habe ich jetzt
[mm] \wurzel{Z*\Pi }
[/mm]
aber ich konnte nur die 0 null als Nullstelle finden.
woher hast du die anderen herausgefunden?
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> als allgemeine Gleichung habe ich jetzt
> [mm]\wurzel{Z*\Pi }[/mm]
> aber ich konnte nur die 0 null als
> Nullstelle finden.
> woher hast du die anderen herausgefunden?
lies dir noch einmal aufmerksam den Post von Steffi durch ;) Du brauchst deinen Ansatz mit Z nicht machen bzw. müsstest dann natürlich Z auch wieder zurück in [mm] 2x^2 [/mm] wandeln. Aber du hast doch die Gleichung:
[mm] $1=cos(\phi)$ [/mm] gegeben. Wann wird die Cosinus-Funktion 1? Siehe Steffis antwort. Das muss man in diesem Fall wissen! Kosinus nimmt für den Winkel 0° den Wert 1 an, ebenso für alle Vielfachen von [mm] 2\pi. [/mm] Also ist die allg. Aussage: Kosinus wird für [mm] 2k\pi [/mm] mit k aus [mm] \IZ [/mm] 1.
Jetzt ist dein [mm] \phi [/mm] aber nicht wie normal einfach x sondern [mm] 2x^2. [/mm] Also gilt folgerichtig [mm] \phi=2x^2. [/mm] Du musst also dein x so wählen, dass das Argument zu 0, [mm] \pm 2\pi [/mm] usw wird. Ist das klar?
Also wir wissen cos(0)=1. Wenn jetzt da steht: [mm] cos(2x^2)=1, [/mm] dann muss [mm] 2x^2 [/mm] eben zu 0 werden und das wird es für x=0. Also haben wir eine Nullstelle der Funktion gefunden.
Jetzt lies nochmal Steffis Post, jetzt geht es mit [mm] $2x^2=2\pi$ [/mm] weiter. Das kannst du nach x auflösen und hast erneut eine Nullstelle gefunden.
Ähnlich wie bei [mm] 2k\pi [/mm] für die Stellen, an denen Kosinus 1 wird, kann man jetzt auch oben die von dir berechneten NST deiner Funktion verallgemeinern. Denn es gibt ja unendlich viele Nullstellen, die diese Gleichung erfüllen, so lange man den Definitionsbereich nicht einschränkt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Do 15.09.2011 | | Autor: | Coxy |
das habe ich verstanden
aber bei der aufgabe
[mm] f(x)=8cos(3x^2)+4
[/mm]
bekomme ich für die erste Nullstelle 0.59 raus.
das ist aber falsch. Wie geht es richtig?
[mm] 8cos(3x^2)+4=0 [/mm] |-4|:8
[mm] cos(3x^2)=-\bruch{1}{2} [/mm] |arccos
[mm] 3x^2=\bruch{1}{3}\Pi [/mm] |:3|Wurzelziehen
x1=0,59
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Do 15.09.2011 | | Autor: | Coxy |
cos(z) = -0,5
bei [mm] \bruch{3}{2}\pi [/mm] ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:37 Do 15.09.2011 | | Autor: | chrisno |
Also mein Taschenrechner gibt mir da null heraus. Das soll auch so sein. Außerdem suchst Du nicht nur einen Wert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Do 15.09.2011 | | Autor: | Coxy |
ich verstehe nicht worauf sie hinaus wollen?
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> ich verstehe nicht worauf sie hinaus wollen?
[mm] cos(3\pi/2) [/mm] ist 0, und nicht -0,5.
wenn du EINE richtige stelle z für cos(z)=-0,5, dann gibt es davon noch unendlich viele weitere...
gruß tee
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