Nullstellen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Do 28.04.2005 | | Autor: | sanne. |
Ich hatte am Montag Abi-Prüfung in Mathe und hab da mal ne Frage zu einer Aufgabe.
Also, gegeben war eine Funktion, an die ich mich aber nicht mehr genau erinnern kann.
Ich glaube 3x³+15x²+9x-t.
Nun die Frage: Für welche Werte von t hat die Funktion eine, zwei oder drei Nullstellen?
Ich weiss nur, dass die Funktion für t=-7 zwei Nullstellen hat. Für t=-7 hat die Funktion ein Maximum für x=0 und ein Minimum für x=-32.
Ich hatte keine Ahnung wie ich das rechnen sollte.
Bin für jede Hilfe dankbar. Ist zwar zu spät, aber wissen will ich es trotzdem...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Do 28.04.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Sanne,
> Also, gegeben war eine Funktion, an die ich mich aber
> nicht mehr genau erinnern kann.
> Ich glaube 3x³+15x²+9x-t.
> Nun die Frage: Für welche Werte von t hat die Funktion
> eine, zwei oder drei Nullstellen?
> Ich weiss nur, dass die Funktion für t=-7 zwei Nullstellen
> hat. Für t=-7 hat die Funktion ein Maximum für x=0 und ein
> Minimum für x=-32.
Überlege dir doch mal genau, wie die Funktion für z.B. t=0 (oder t=-7 falls ihr das gezeichnet habt) aussieht: Du kennst Minimalstellen und Maximalstellen und dadurch auch die Funktionswerte an diesen Stellen.
Du weißt, dass die Funktion für sehr große negative Werte von $x$ ($x [mm] \to -\infty$) [/mm] gegen [mm] $-\infty$ [/mm] geht, für sehr große Wert von $x$ ($x [mm] \to \infty$) [/mm] gegen Unendlich. Also muss dein Polynom schon mal immer mindestens eine Nullstelle haben.
Was bewirkt denn dein t? Die Funktion wird genau um [mm] $\pm [/mm] t$ nach oben bzw. unten verschoben! (Versuche dir die Funktion für verschiedene Werte von t zu skizzieren! Das geht leicht, denn du kennst ja Maximum und Minumum.)
Wo hast du also eine Nullstelle? Solange entweder
1) Der Wert an der Stelle des lokalen Maximums ist kleiner Null. (Das bedeutet, die Funktion bleibt auch hier unter der x-Achse.)
oder
2) Der Wert an der Stelle des lokalen Minimums ist größer als Null. (Das bedeutet, die Funktion bleibt "oberhalb" der x-Achse.)
Sobald einer der Extrempunkte genau auf der x-Achse liegt, diese also berührt, aber nicht schneidet, hast du zwei Nullstellen.
Wenn nun der Funktionswert an der Stelle des Maximums größer ist als Null, der Funktionswert an der Minimalstelle aber kleiner als Null, dann muss das Polynom die x-Achse dreimal schneiden, es gibt also drei Nullstellen.
Ist das einigermaßen klar geworden? Versuche wirklich, es dir für verschiedene t aufzuzeichnen, dann wird es klarer!
Viele Grüße
Astrid
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Do 28.04.2005 | | Autor: | sanne. |
erstmal danke für die schnelle antwort.
ich habe in der klausur auch sowas ähnliches hingeschrieben, aber halt keine rechnung. gibt es denn eine rechnung dafür?
mfg sanne
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Do 28.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo sanne.
theoretisch gibt es eine Lösungsformle für Gleichungen dritten Grades, an Hand derer man das berechnen könnte - ich bin mir aber ziemlich sicher, dass das nicht gefordert war. Viel eher denek ich solltet ihr halt die Argumentation die Astrid geführt hat nutzen um diese Frage zu beantworten.
Max
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:12 Fr 29.04.2005 | | Autor: | sanne. |
ich hoffe, dass du recht hast. vielleicht dann doch keine nachprüfung.; )
also, vielen dank für eure hilfe!
mfg sanne
|
|
|
|
