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Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Mi 11.02.2009
Autor: espritgirl

Hallo Zusammen [winken],


ich über gerade mit Aufgaben aus einem Mentorbuch, leider habe ich die Lösungen nicht mitkopiert...


Ich denke, dass das zwei Aufgaben sind, in denen ich einen Fehler haben muss, ich muss nämlich aus einer negativen Zahl eine Wurzel ziehen:


(1) f(x)= (1-2x)*(x-2)

---> Ich habe die jetzt einfach ausmultipliziert

[mm] -2x^{2}+5x+2=0 [/mm]

[mm] -2x^{2}+5x+2+6,25-6,25-2=0 [/mm]
[mm] (-2x+2,5)^{2}+4,25=0 [/mm]
[mm] (-2x+2,5)^{2}=-4,25 [/mm] ----> daraus kann ich ja nicht die Wurzel ziehen [kopfschuettel].


(2) [mm] f(x)=x^{3}-5x^{2}+6x [/mm]

[mm] x*(x^{2}-5x+6) [/mm] ---> x=0 und [mm] x^{2}-5x+6=0 [/mm]

Da komme ich wieder auf ein negatives Ergebnis:


[mm] (x-2,5)^{2}=-12,25 [/mm]  ---> Und daraus kann ich ja wieder keine Wurzel ziehen.


Wo liegen meine Fehler?




Liebe Grüße

Sarah :-)

        
Bezug
Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 Mi 11.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Sarah,

> Hallo Zusammen [winken],
>  
>
> ich über gerade mit Aufgaben aus einem Mentorbuch, leider
> habe ich die Lösungen nicht mitkopiert...
>  
>
> Ich denke, dass das zwei Aufgaben sind, in denen ich einen
> Fehler haben muss, ich muss nämlich aus einer negativen
> Zahl eine Wurzel ziehen:
>  
>
> (1) f(x)= (1-2x)*(x-2)
>  
> ---> Ich habe die jetzt einfach ausmultipliziert

Uff, das macht doch kein Mensch ;-)

Jedermann und -frau versucht doch immer, wenn möglich, zu faktorisieren, um Nullstellen abzulesen

Ein Produkt ist genau dann =0, wenn (mindestens) einer der Faktoren =0 ist

Also [mm] $(1-2x)(x-2)=0\gdw [/mm] 1-2x=0 \ [mm] \text{oder} [/mm] \ x-2=0$ ...

>  
> [mm] $-2x^{2}+5x\red{-}2=0$ [/mm]

Hier hat der Fehlerteufel schon zugeschlagen: [mm] $1\cdot{}(-2)=-2$ [/mm]

>  
> [mm]-2x^{2}+5x+2+6,25-6,25-2=0[/mm]
>  [mm](-2x+2,5)^{2}+4,25=0[/mm]
> [mm](-2x+2,5)^{2}=-4,25[/mm] ----> daraus kann ich ja nicht die
> Wurzel ziehen [kopfschuettel].

Bevor du ergänzt, solltest du die Gleichung mit [mm] $-\frac{1}{2}$ [/mm] multiplizieren, damit der Leitkoeffizient (der vor dem [mm] x^2) [/mm] zu 1 wird!

>  
>
> (2) [mm]f(x)=x^{3}-5x^{2}+6x[/mm]
>  
> [mm]x*(x^{2}-5x+6)[/mm] ---> x=0 und oder!! [mm]x^{2}-5x+6=0[/mm] [ok]
>  
> Da komme ich wieder auf ein negatives Ergebnis:
>  
>
> [mm](x-2,5)^{2}=-12,25[/mm]

Das hast du falsch ergänzt!

[mm] $x^2-5x+6=0\gdw (x-2,5)^2-2,5^2+6=0\gdw (x-2,5)^2-0,25=0$, [/mm] also [mm] $(x-2,5)^2=0,25$ [/mm] bzw. "besser" mit Brüchen [mm] $\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$ [/mm]

> ---> Und daraus kann ich ja wieder
> keine Wurzel ziehen.
>  
>
> Wo liegen meine Fehler?

Beim Rechnen (hier zumindest) ;-)

>  
>
>
>
> Liebe Grüße
>  
> Sarah :-)


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:46 Mi 11.02.2009
Autor: espritgirl

Hallo schachuzipus [winken],


Danke für deine Antwort - mir ist mal wieder einiges klarer geworden:


> > (1) f(x)= (1-2x)*(x-2)

> Ein Produkt ist genau dann =0, wenn (mindestens) einer der
> Faktoren =0 ist
>  
> Also [mm](1-2x)(x-2)=0\gdw 1-2x=0 \ \text{oder} \ x-2=0[/mm] ...


Das ist ja ganz einfach... [mm] x_{1}=0,5 [/mm] und [mm] x_{2}=2 [/mm]

Wenn das jetzt nicht stimmt [kopfschuettel].



> > [mm](x-2,5)^{2}=-12,25[/mm]
>
> Das hast du falsch ergänzt!
>  
> [mm]x^2-5x+6=0\gdw (x-2,5)^2-2,5^2+6=0\gdw (x-2,5)^2-0,25=0[/mm],
> also [mm](x-2,5)^2=0,25[/mm] bzw. "besser" mit Brüchen
> [mm]\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{1}{4}[/mm]


Nicht falsch ergänzt, sondern falsch quadriert.

[mm] x_{1} [/mm] ist dann 3 und [mm] x_{2} [/mm] ist dann 2.




Liebe Grüße

Sarah :-)

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Mi 11.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo schachuzipus [winken],
>  
>
> Danke für deine Antwort - mir ist mal wieder einiges klarer
> geworden:
>  
>
> > > (1) f(x)= (1-2x)*(x-2)
>  
> > Ein Produkt ist genau dann =0, wenn (mindestens) einer der
> > Faktoren =0 ist
>  >  
> > Also [mm](1-2x)(x-2)=0\gdw 1-2x=0 \ \text{oder} \ x-2=0[/mm] ...
>  
>
> Das ist ja ganz einfach... [mm]x_{1}=0,5[/mm] und [mm]x_{2}=2[/mm] [ok]
>  
> Wenn das jetzt nicht stimmt [kopfschuettel].
>  
>
>
> > > [mm](x-2,5)^{2}=-12,25[/mm]
> >
> > Das hast du falsch ergänzt!
>  >  
> > [mm]x^2-5x+6=0\gdw (x-2,5)^2-2,5^2+6=0\gdw (x-2,5)^2-0,25=0[/mm],
> > also [mm](x-2,5)^2=0,25[/mm] bzw. "besser" mit Brüchen
> > [mm]\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{1}{4}[/mm]
>
>
> Nicht falsch ergänzt, sondern falsch quadriert.
>  
> [mm]x_{1}[/mm] ist dann 3 und [mm]x_{2}[/mm] ist dann 2. [ok]
>  
>
>
>
> Liebe Grüße
>  
> Sarah :-)


LG

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Mi 11.02.2009
Autor: espritgirl

Hallo schachuzipus [winken],


Super, dass wenigstens da oben alles gestimmt hat...


Ich habe hier jetzt eine Aufgabe, die ich versuche mit Substitution zu lösen - aber anscheinend mache ich da wieder einen Vorzeichenfehler irgendwo:


[mm] f(x)=x^{4}-13x^{2}+36 [/mm]  ---> [mm] x^{4}=z^{2} [/mm] und [mm] x^{2}=z [/mm]


[mm] f(x)=z^{2}-13z+36 [/mm]
     [mm] z^{2}-13z-6,5^{2}+6,5^{2}+36=0 [/mm]
     [mm] (2-6,5)^{2} [/mm] + 78,25  
    ---> [mm] (2-6,5)^{2}=-78,25 [/mm]


Wo liegt denn hier mein Fehler?



Liebe Grüße und danke für deine Kontrolle


Sarah :-)    

Bezug
                                        
Bezug
Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:59 Mi 11.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Sarah,


> Hallo schachuzipus [winken],
>  
>
> Super, dass wenigstens da oben alles gestimmt hat...
>  
>
> Ich habe hier jetzt eine Aufgabe, die ich versuche mit
> Substitution zu lösen - aber anscheinend mache ich da
> wieder einen Vorzeichenfehler irgendwo:
>  
>
> [mm]f(x)=x^{4}-13x^{2}+36[/mm]  ---> [mm]x^{4}=z^{2}[/mm] und [mm]x^{2}=z[/mm] [ok]
>  
>
> [mm]f(x)=z^{2}-13z+36[/mm] [ok]
>       [mm] $\red{z^{2}-13z}-6,5^{2}\red{+6,5^{2}}+36=0$ [/mm] [ok]
>       [mm](2-6,5)^{2}[/mm] + 78,25  [notok]

Beachte, dass die Terme, die ich rot markiert habe, die binomische Formel ausmachen, für den Rest bleibt also [mm] $-6,5^2+36$ [/mm]

> ---> [mm](2-6,5)^{2}=-78,25[/mm]
>  
>
> Wo liegt denn hier mein Fehler?
>  
>
>
> Liebe Grüße und danke für deine Kontrolle
>  
>
> Sarah :-)    

LG

schachuzipus

Bezug
        
Bezug
Nullstellen: Polynomdivision
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:48 Mi 11.02.2009
Autor: espritgirl

Hallo Zusammen [winken],


ich habe hier noch eine Aufgabe - vermutlich die letzte für heute Abend. Freue mich, wenn die jemand kontrolliert:


[mm] (x^{3}+2x^{2}-17x+6) [/mm] : (x-3) = [mm] x^{2}+5x-2 [/mm]  => [mm] x_{1}=3 [/mm]
[mm] -(x^{3}-3x^{2}) [/mm]

        [mm] 5x^{2}-17x [/mm]
      [mm] -(5x^{2}-15x) [/mm]

              -2x+6
            -(-2x+6)

                  0



[mm] x^{2}+5x-2 [/mm]

[mm] x^{2}+5x+2,5^{2}-2,5^{2}-2=0 [/mm]
[mm] (x-2,5)^{2}-8,25=0 [/mm]
[mm] (x-2,5)^{2}=8,25 [/mm]
x-2,5=2,87     [mm] \vee [/mm]   x-2,5=-2,87
[mm] x_{2}=0,37 x_{3}=-5,37 [/mm]


Stimmt meine Rechnung?





Liebe Grüße

Sarah :-)

Bezug
                
Bezug
Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Mi 11.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hallo Zusammen [winken],
>  
>
> ich habe hier noch eine Aufgabe - vermutlich die letzte für
> heute Abend. Freue mich, wenn die jemand kontrolliert:
>  
>
> [mm](x^{3}+2x^{2}-17x+6)[/mm] : (x-3) = [mm]x^{2}+5x-2[/mm]  => [mm]x_{1}=3[/mm] [ok]
>  [mm]-(x^{3}-3x^{2})[/mm]
>  
> [mm]5x^{2}-17x[/mm]
>        [mm]-(5x^{2}-15x)[/mm]
>  
> -2x+6
>              -(-2x+6)
>  
> 0
>  
>
>
> [mm]x^{2}+5x-2[/mm]
>  
> [mm]x^{2}+5x+2,5^{2}-2,5^{2}-2=0[/mm]
>  [mm](x-2,5)^{2}-8,25=0[/mm]

Wieso "-"? Da steht doch [mm] $x^2+5x...$ [/mm]

>  [mm] $(x\red{+}2,5)^{2}=8,25$ [/mm]
>  [mm] $x\red{+}2,5=2,87 \vee x\red{+}2,5=-2,87$ [/mm]
>  [mm] $x_{2}=0,37 [/mm]    \ \ \        [mm] x_{3}=-5,37$ [/mm]

Die Ergebnisse stimmen wieder, aber wie du darauf von der Zeile darüber kommst, ist mir ein Rätsel, du schreibst die falschen VZ hin, rechnest aber mit den richtigen (rot) ;-)

>  
>
> Stimmt meine Rechnung?
>  

Weitgehend, aber der Vorzeichenfehler ... (oder Tippfehler?!)

> Liebe Grüße
>  
> Sarah :-)


LG

schachuzipus

Bezug
                        
Bezug
Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:02 Mi 11.02.2009
Autor: espritgirl

Hallo schachuzipus [winken],


> Weitgehend, aber der Vorzeichenfehler ... (oder
> Tippfehler?!)


Zum Glück "nur" Tippfehler. Wenigstens etwas, was reibungslos läuft...




Liebe Grüße und danke für deine Korrektur

Sarah :-)

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