Nullstellen-orthogonale Polyn. < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:07 Do 28.08.2008 | | Autor: | Pondy |
Hallo,
könnt Ihr mir erklären wie man beweisen kann, dass die Funktion u-U für die gilt:
[mm] \limes_{t\uparrow t_n}U-u(t_n)=0, \integral_{I_n}{(U-u)q dt}=0, \forall q\in P_{r-1}(I_n),
[/mm]
mindestens r+1 einfache Nullstellen hat?
Hierbei ist [mm] I_n=(t_{n-1},t_n] [/mm] , u eine beliebige r+1 mal stetig differenzierbare (auf dem abgechlossenen Intervall [mm] \overline{I}_n) [/mm] Funktion, [mm] P_k(I_n) [/mm] der Raum der Polynome mit maximalem Grad k auf [mm] I_n [/mm] und U [mm] \in P_r(I_n).
[/mm]
Wäre u-U ein Polynom, so ginge es über orthogonale Polynome, aber das ist es ja nun leider nicht unbedingt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:38 Fr 29.08.2008 | | Autor: | PeterB |
Hallo!
Die Idee ist einfach, dass eine stetige Funktion, deren Integral 0 ist nicht nur ein Vorzeichen haben kann. D.h. sofern deine Funktion nicht konstant null ist muss das Produkt von ihr mit einem Polynom vom Grad höchstens $r-1$ mindestens einmal das Vorzeichen wechseln.
Würde nun $U-u$ selbst nur an den Stellen [mm] $a_1, [/mm] ... , [mm] a_s$ [/mm] mit [mm] $s\leq [/mm] r-1$ das Vorzeichen wechseln, dann wäre [mm] $(U-u)(t)(t-a_1)\cdot [/mm] ... [mm] \cdot (t-a_s)$ [/mm] entweder nicht negativ, oder nicht positiv, und hätte damit auch nicht verschwindenes Integral.
Zusammenfassung: $U-u$ wechselt im inneren des Intervalls mindestens $r$-mal das Vorzeichen, hat dort also mindestens $r$ Nullstellen. Die $r+1$-te ist bei [mm] $t_n$.
[/mm]
Gruß
Peter
|
|
|
|
