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| Aufgabe | | Berechne die Nullstelle von: f(x) = [mm] x^5 [/mm] + [mm] 80x^2 [/mm] + 4 |
Hallo,
ich weiß das die Bedingung dafür y=0 ist, also habe ich:
0 = [mm] x^5 [/mm] + [mm] 80x^2 [/mm] + 4 als nächstes mache ich bei beiden Seiten -4,also:
-4 = [mm] x^5 [/mm] + [mm] 80x^2 [/mm] und was mache ich nun? Wie rechne ich da die Nullstelle aus? Oder gibt es hier keine???
Vielen Dank euch schonmal!!!
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Hallo KlausFreitz,
> Berechne die Nullstelle von: [mm]f(x) = x^5 + 80x^2 + 4[/mm]
Ich vermute, daß es für dieses Polynom keine algebraische Lösung gibt. (Es ist wie gesagt nur eine Vermutung, da ich mich mit der ![[]](/images/popup.gif) Theorie um solche Gleichungen nicht auskenne.)
Wie bist Du denn auf diese Funktion gekommen?
Doch selbst wenn ich mich oben geirrt haben sollte, scheint mir eine Anwendung der obigen Theorie doch etwas kompliziert.  Benutzt man stattdessen Näherungsverfahren wie z.B. das Newton Verfahren, so sollte sich die Nullstelle numerisch annähern lassen.
Nur ist es beim Newton-Verfahren leider so, daß wir es nicht mit jedem beliebigen Wert starten können. Stattdessen muß es ein Wert in der Nähe einer vermuteten Nullstelle sein. Wenn wir die Funktion zeichnen, sehen wir z.B., daß -4.5 ein guter Startwert sein könnte. (Wenn man das allerdings formal begründen will, so muß man vorher eine ausführliche Kurvendiskussion von [mm]f[/mm] durchführen, um die Existenz einer Nullstelle plausibel zu machen. Darauf verzichte ich hier mal.):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es gilt:
[mm]f'(x) = 5x^4 + 160x[/mm]
Damit lautet das Newton-Verfahren:
[mm]x_{i+1} := x_i - \frac{x_i^5 + 80x_i^2 + 4}{5x_i^4 + 160x_i}[/mm]
mit
[mm]x_0 := -4.5[/mm]
Jetzt setze also -4.5 in den rechten Term der Definition ein. Den neuen Wert setzt Du wieder in den rechten Term der Definition ein, u.s.w. (versuch's z.B. mal mit einem Taschenrechner).
Grüße
Karl
[P.S. Hier findest Du ein Beispiel für eine Kurvendiskussion.]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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