Nullstelle < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Di 16.08.2011 | | Autor: | RWBK |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] f(x)=x^{3}-2,7x^{2}-x+3,5 [/mm] im Intervall [0,2] eine Nullstelle hat. Bestimmen Sie diese Nährungsweise (ein Iterationsschritt) mittels Newtom-Verfahren. Ald Startwer verwende man x0=1.00 |
Hallo,
ich weiß nicht genau wie ich zeigen soll das die Funktion [mm] f(x)=x^{3}-2,7x^{2}-x+3,5 [/mm] im Intervall [0,2] eine Nullstelle hat. Berechnen kann ich sie leider auch nicht den durchraten und dann Polynomdivision bzw Horner Schema kriege ich auch keine raus.Daher würde ich mich sehr freuen wenn mir jemand sagen könnte wie ich hier erst einmal zeigen könnte das ein Nullstelle vorliegt. Eine Idee kommt mir gerade noch oder reicht er einfach wenn ich zum Beispiel wie hier die 0 und die 2 zuerst einsetze? denn ich bekomme einmal ein positives Ergebnis und einmal ein negatives somit müsste ja ein Vorzeichenwechsel vor liegen und somit auch eine Nullstelle oder?
mfg
RWBK
|
|
| |
|
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]f(x)=x^{3}-2,7x^{2}-x+3,5[/mm] im
> Intervall [0,2] eine Nullstelle hat. Bestimmen Sie diese
> Nährungsweise (ein Iterationsschritt) mittels
> Newtom-Verfahren. Ald Startwer verwende man x0=1.00
> Hallo,
>
> ich weiß nicht genau wie ich zeigen soll das die Funktion
> [mm]f(x)=x^{3}-2,7x^{2}-x+3,5[/mm] im Intervall [0,2] eine
> Nullstelle hat. Berechnen kann ich sie leider auch nicht
> den durchraten und dann Polynomdivision bzw Horner Schema
> kriege ich auch keine raus.Daher würde ich mich sehr
> freuen wenn mir jemand sagen könnte wie ich hier erst
> einmal zeigen könnte das ein Nullstelle vorliegt. Eine
> Idee kommt mir gerade noch oder reicht er einfach wenn ich
> zum Beispiel wie hier die 0 und die 2 zuerst einsetze? denn
> ich bekomme einmal ein positives Ergebnis und einmal ein
> negatives somit müsste ja ein Vorzeichenwechsel vor liegen
> und somit auch eine Nullstelle oder?
ganz genau ;)
dazu musst du nur noch sagen, dass deine Funktion f stetig ist.
Da das aber offensichtlich der Fall ist (Polynomfunktion) kannst du das ganze genau so machen.
Das ist übrigens der Zwischenwertsatz, der hier benutzt wird:
http://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz
Zum finden der Nullstelle:
Hier sollst du das Newton-Verfahren anwenden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren
Ist dir das bekannt/weißt du wie es funktioniert?
> mfg
> RWBK
MfG
Schadowmaster
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Di 16.08.2011 | | Autor: | RWBK |
Danke für deine schnelle antwort! Jetzt nochmal ein paar Fragen bzw Anmerkung. Polynomfunktionen sind immer stetig richtig? Wie kann ich das bei anderen aufgaben machen wenn jetzt keine mal keine Polynomfunktion vorliegt? Damit möchte ich also fragen wie weiße ich am besten nach ob eine funktion stetig ist oder nicht?
Newton-Verfahren sagt mir was:
[mm] x1=x0-\bruch{f(x0)}{f ´(x0)} [/mm] Hieße also ich berechne einmal f(1) wäre hier =0,8 ,dann müsste ich die Ableitung bilden von f(x) wäre hier als [mm] 3x^{2}-5,4x-1=f [/mm] ´(x).Diese Funktion müsste ich wieder mit dem Startwert x0=1.00 berechnen wäre also f [mm] ´(x)=3*1^{2}-5,4*1-1=-3,4.
[/mm]
Diese berechneten Werte müsste ich dann in die Newton Formel einsetzen
[mm] x1=1-\bruch{0,8}{-3,4}=1,235... [/mm] und dies müsste somit mein Ergebnis sein da nur nach einem Iterationsschritt verlangt wurde. Wieviele Stellen nach dem Komma darf ich eigentlich angeben?
mfg
RWBK
|
|
|
| |
|
> Danke für deine schnelle antwort! Jetzt nochmal ein paar
> Fragen bzw Anmerkung. Polynomfunktionen sind immer stetig
> richtig? Wie kann ich das bei anderen aufgaben machen wenn
> jetzt keine mal keine Polynomfunktion vorliegt? Damit
> möchte ich also fragen wie weiße ich am besten nach ob
> eine funktion stetig ist oder nicht?
http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Stetigkeit_reeller_Funktionen
Die beiden da sind die am häufigsten benutzen Kriterien um Stetigkeit zu überprüfen.
Das epsilon-delta-Kriterium ist das "Standardverfahren".
Ist manchmal etwas umständlich, klappt aber immer.
Das Folgenkriterium wird meist benutzt wenn du eine Funktion hast und du nur bei einem Punkt wissen willst ob sie stetig ist.
zB:
f(x) = [mm] \begin{cases} 0 & \mbox{für} x = 0 \\
\frac{1}{x} & \mbox{sonst} \end{cases}$
[/mm]
Man weiß auf [mm] $\IR \backslash \{0\}$ [/mm] ist [mm] $\frac{1}{x}$ [/mm] stetig, also ist einzig der Punkt x=0 zu überprüfen.
Hierfür ist wie gesagt das Folgenkriterium ganz nett; auch wenn die Definition auf den ersten Blick vielleicht kompliziert wirken mag.
Davon abgesehen sind diese hier wichtig:
[mm] http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit#Wichtige_S.C3.A4tze_.C3.BCber_stetige_Funktionen
[/mm]
Also verkettest du stetige Funktionen, addierst sie, etc. dann ist die Funktion die rauskommt wieder stetig.
Und dann muss man halt eine gewisse Menge stetiger Funktionen (Polynomfunktionen, e-Funktion, etc.) kennen und gucken ob und wie sich die zu untersuchende Funktion aus diesen bekannten zusammensetzt.
> Newton-Verfahren sagt mir was:
>
> [mm]x1=x0-\bruch{f(x0)}{f ´(x0)}[/mm] Hieße also ich berechne
> einmal f(1) wäre hier =0,8 ,dann müsste ich die Ableitung
> bilden von f(x) wäre hier als [mm]3x^{2}-5,4x-1=f[/mm] ´(x).Diese
> Funktion müsste ich wieder mit dem Startwert x0=1.00
> berechnen wäre also f [mm]´(x)=3*1^{2}-5,4*1-1=-3,4.[/mm]
> Diese berechneten Werte müsste ich dann in die Newton
> Formel einsetzen
> [mm]x1=1-\bruch{0,8}{-3,4}=1,235...[/mm] und dies müsste somit
> mein Ergebnis sein da nur nach einem Iterationsschritt
> verlangt wurde. Wieviele Stellen nach dem Komma darf ich
> eigentlich angeben?
Du "darfst" so viele Stellen wie du willst angeben.
Normalerweise reichen aber wenn nicht explizit anders gefordert 2-3 Stellen vollkommen aus.
Davon abgesehen sollte man allgemein (vielleicht nicht gerade hier, das könnte etwas problematisch werden^^) gewisse Terme garnicht auflösen.
Also zB ist $x = [mm] \sqrt{2}$ [/mm] besser als $x = 1,414...$
> mfg
> RWBK
MfG
Schadowmaster
|
|
|
|
