Nullstell Drift und Erwartungs < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:02 Sa 03.11.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo Leute,
man betrachte eine SDG der Form:
[mm]dX_t = d(X_t) dt + X_t \sigma dB_t[/mm]
mit stetiger Dirftfunktion [mm]d(x), x \in \IR [/mm] und konstanter Volatilität [mm]\sigma \in \IR[/mm]
Angenommen die Driftfunktion [mm]d(\cdot)[/mm] hat eine einzige Nullstelle. Weiter ist man in der Lage die DGL eindeutig zu lösen und die Erwartungswertfunktion des Lösungsprozesses zu bestimmen. Zusätzlich existiert eine invariante Verteilung, welche dann ja ihrer Grenzverteilung entspricht (siehe Standard-Theorie [scale function, speed measure]). Außerdem hat man diese invariante Verteilung explizit bestimmt und auch den zugehörigen Mittelwert.
Nun ist mir bei einer Anwendung folgendes absolut sinnmachendes aufgefallen:
Die Nullstelle des Drifts stimmt mit dem Mittelwert der invarianten Verteilung und dem Grenzwert der Erwartungswertfunktion überein.
Nun die eigentlichen Frage: Erstens, kann man das irgendwie allgemein zeigen, also nicht erst wenn der Lösungsprozess und die invariante Verteilung bestimmt ist. Zweitens ist es möglich dies auf denn Fall eines zeitabhängigen Drifts zu verallgemeinern. Denn in diesem Fall ist die Standard-Theorie bezüglich invarianten Verteilung ja nicht anwendbar.
Oder hat jemand eine Quellenangabe, in der sich mit dieser Frage auseinander gesetzt wird?
Vielen Dank und beste Grüß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 05.11.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:59 Do 08.11.2012 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ich muss es jetzt noch einmal "pushen" da es für mich in den letzten Tagen aufgrund einer Anwendung wichtger geworden ist. Ich formulier es mal ein bischen um:
Ist es so, dass wenn eine SDG der Form
> [mm]dX_t = d(X_t) dt + X_t \sigma dB_t[/mm]
>
> mit stetiger Dirftfunktion [mm]d(x), x \in \IR[/mm] und konstanter
> Volatilität [mm]\sigma \in \IR[/mm]
vorliegt, immer dann wenn die Driftfunktion eine Nullstelle hat, der Erwartungswert gegen diese Nullstelle konvergiert und der Prozess zumindest in finiter Zeit nicht explodiert?
Danke schonmal
Beste Grüße
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