Nullmengen < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:39 Di 06.01.2015 | | Autor: | James90 |
Hi!
Definition: Sei [mm] (\Omega,F,\mu) [/mm] ein Maßraum. eine Menge [mm] A\subseteq\Omega [/mm] heißt [mm] \mu-Nullmenge, [/mm] falls ein [mm] $B\in [/mm] F$ existiert mit [mm] \mu(B)=0 [/mm] und [mm] $A\subseteq [/mm] B$.
Nullstellenmenge [mm] N:=\{A\subseteq\Omega\mid\exists B\in F:\mu(B)=0\wedge A\subseteq B\}.
[/mm]
Z.z.: [mm] $A_1,A_2,\ldots\in N\Rightarrow\bigcup_{i\in\IN}A_i\in [/mm] N$.
Beweis: [mm] \mu [/mm] ist ein Maß über F und damit auch sigma-subadditiv. Demnach [mm] \mu(\bigcup_{i\in\IN}A_i)\le\sum_{i\in\IN}\mu(A_i)=\sum_{i\in\IN}0=0.
[/mm]
Wegen [mm] \mu:F\to[0,\infty], [/mm] also [mm] $\mu(A)\ge [/mm] 0$ für alle [mm] $A\in [/mm] F$ ist damit [mm] 0\le\mu(\bigcup_{i\in\IN}A_i).
[/mm]
Mein Problem ist hier aber, dass die [mm] $A_i\in [/mm] N$, aber nicht unbedingt [mm] $A_i\in [/mm] F$ sein muss. Es kann auch [mm] A_i\subseteq\Omega [/mm] geben mit [mm] \mu(A_i)=0 [/mm] und damit [mm] $A_i\in [/mm] N$.
Demnach darf ich das Maß gar nicht benutzen. Wo liegt mein Denkfehler?
Z.z.: Teilmengen von Nullmengen sind wieder Nullmengen.
Beweis: Sei [mm] $X\in [/mm] N$ und [mm] $A\subseteq [/mm] X$. Z.z.: A ist eine [mm] \mu [/mm] Nullmenge. [mm] $X\in [/mm] N$, also existiert ein [mm] $B\in [/mm] F$ mit [mm] \mu(B)=0 [/mm] und [mm] $X\subseteq [/mm] B$. Wegen der Monotonie des Maßes ist dann [mm] \mu(A)\le\mu(X)\le\mu(B)=0.
[/mm]
Auch hier das selbe Problem. A muss nicht aus F sein...
Ich bitte um Korrektur und Hilfe, vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Di 06.01.2015 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Du kannst nicht unbedingt [mm] \mu(A_i) [/mm] bilden, weil Maße nur für Elemente der [mm] \sigma-Algebra [/mm] definiert sind. Aber gehe nochmal einen Schritt zurück. Du weißt, dass es [mm] $B_i\in [/mm] F$ mit [mm] A_i \subseteq B_i [/mm] und [mm] \mu(B_i)=0 [/mm] gibt. Jetzt willst du ein [mm] $B\in [/mm] F$ finden, das [mm] $A=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i$ [/mm] enthält und für das [mm] \mu(B)=0 [/mm] gilt.
Wie könnte $B$ denn aussehen? Du kannst sogar deine Rechnung, die du schon gemacht hast, fast komplett übernehmen. :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:20 Di 06.01.2015 | | Autor: | James90 |
> Hi!
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> Du kannst nicht unbedingt [mm]\mu(A_i)[/mm] bilden, weil Maße nur
> für Elemente der [mm]\sigma-Algebra[/mm] definiert sind. Aber gehe
> nochmal einen Schritt zurück. Du weißt, dass es [mm]B_i\in F[/mm]
> mit [mm]A_i \subseteq B_i[/mm] und [mm]\mu(B_i)=0[/mm] gibt. Jetzt willst du
> ein [mm]B\in F[/mm] finden, das [mm]A=\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i[/mm] enthält
> und für das [mm]\mu(B)=0[/mm] gilt.
>
> Wie könnte [mm]B[/mm] denn aussehen? Du kannst sogar deine
> Rechnung, die du schon gemacht hast, fast komplett
> übernehmen. :)
Cool, dass man hier immer Hilfe bekommt, selbst um 1 :)
Definition: Sei [mm] (\Omega,F,\mu) [/mm] ein Maßraum. eine Menge [mm] A\subseteq\Omega [/mm] heißt [mm] \mu-Nullmenge, [/mm] falls ein [mm] $B\in [/mm] F$ existiert mit [mm] \mu(B)=0 [/mm] und [mm] $A\subseteq [/mm] B$.
Nullstellenmenge [mm] N:=\{A\subseteq\Omega\mid\exists B\in F:\mu(B)=0\wedge A\subseteq B\}. [/mm]
Z.z.: [mm] $A_1,A_2,\ldots\in N\Rightarrow\bigcup_{i\in\IN}A_i\in [/mm] N$.
Beweis: [mm] $A_1,A_2,\ldots\in [/mm] N, also existieren [mm] $B_1,B_2,\ldots\in [/mm] F$ mit [mm] \mu(B_i)=0 [/mm] und [mm] $A_i\subseteq B_i$. [/mm] Wir wählen [mm] B:=\bigcup_{i\in\IN}B_i. [/mm] F ist eine Sigma-Algebra und damit ist wegen [mm] $B_i\in [/mm] F$ auch [mm] $B=\bigcup_{i\in\IN}B_i\in [/mm] F$. Nach Voraussetzung sind [mm] $A_1,A_2,\ldots\in [/mm] N$, also [mm] A_i\subseteq\Omega, [/mm] also [mm] A:=\bigcup_{i\in\IN}A_i\subseteq\Omega. [/mm] Damit haben wir ein [mm] $B\in [/mm] F$ gefunden mit [mm] $A\subseteq [/mm] B$ und [mm] \mu(B)=0 [/mm] und damit ist wie gewünscht [mm] A=\bigcup_{i\in\IN}\in [/mm] N.
In Ordnung? Die anderen zwei probiere ich gleich. Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:31 Di 06.01.2015 | | Autor: | Teufel |
Jup, genau! Wobei [mm] \mu(B)=0 [/mm] aus deiner Rechnung davor folgt, wenn man alle [mm] A_i [/mm] durch [mm] B_i [/mm] ersetzt. ;) Sollte man auch noch anmerken,wenn es noch nicht gezeigt wurde.
Aber ich gehe jetzt auch mal schlafen, viel Glück mit den anderen Aufgaben! Aber ich schaue morgen früh nochmal rein. :) Gute Nacht!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:20 Di 06.01.2015 | | Autor: | James90 |
Danke für deine Korrektur! Ich probiere es erneut^^
Definition: Sei [mm] (\Omega,F,\mu) [/mm] ein Maßraum. eine Menge [mm] A\subseteq\Omega [/mm] heißt [mm] \mu-Nullmenge, [/mm] falls ein [mm] $B\in [/mm] F$ existiert mit [mm] \mu(B)=0 [/mm] und [mm] $A\subseteq [/mm] B$.
Nullstellenmenge [mm] N:=\{A\subseteq\Omega\mid\exists B\in F:\mu(B)=0\wedge A\subseteq B\}. [/mm]
Z.z.: [mm] $A_1,A_2,\ldots\in N\Rightarrow\bigcup_{i\in\IN}A_i\in [/mm] N$.
Beweis: [mm] $A_1,A_2,\ldots\in [/mm] N, also existieren [mm] $B_1,B_2,\ldots\in [/mm] F$ mit [mm] \mu(B_i)=0 [/mm] und [mm] $A_i\subseteq B_i$. [/mm] Wir wählen [mm] B:=\bigcup_{i\in\IN}B_i. [/mm] F ist eine Sigma-Algebra und damit ist wegen [mm] $B_i\in [/mm] F$ auch [mm] $B=\bigcup_{i\in\IN}B_i\in [/mm] F$. Außerdem folgt aus der sigma-Subadditivität [mm] \mu(\bigcup_{i\in\IN}B_i)\le\sum_{i\in\IN}\mu(B_i)=\sum_{i\in\IN}0=0 [/mm] und damit [mm] $0=\mu(B)=\mu(\bigcup_{i\in\IN}B_i)$. [/mm] Nach Voraussetzung sind [mm] $A_1,A_2,\ldots\in [/mm] N$, also [mm] A_i\subseteq\Omega, [/mm] also [mm] A:=\bigcup_{i\in\IN}A_i\subseteq\Omega [/mm] und damit ist A ein potenzieller Kandidat. In der Tat: Damit haben wir ein [mm] $B\in [/mm] F$ gefunden mit [mm] $A\subseteq [/mm] B$ und [mm] \mu(B)=0 [/mm] und damit ist wie gewünscht [mm] A=\bigcup_{i\in\IN}A_i\in [/mm] N.
Z.z.: Teilmengen von Nullmengen sind wieder Nullmengen.
Beweis: Sei [mm] $X\in [/mm] N$ und [mm] $A\subseteq [/mm] X$. Z.z.: A ist eine Nullmenge, d.h. es existiert ein [mm] $X'\in [/mm] F$ mit [mm] \mu(X')=0 [/mm] und [mm] $X\subseteq [/mm] X'$. In der Tat: Es ist [mm] $A\in [/mm] N$, also existiert ein [mm] $B\in [/mm] F$ mit [mm] \mu(B)=0 [/mm] und [mm] $A\subseteq [/mm] B$. Insbesondere ist nach Voraussetzung [mm] $X\subseteq [/mm] A$ und somit [mm] $X\subseteq A\subseteq [/mm] B$. Mit $B:=X'$ folgt was zu zeigen ist.
Ziemlich analog oder durch Induktion kann man dann auch zeigen, dass die abzählbare Vereinigung von Teilmengen von Nullmengen wieder eine Nullmenge ist. Richtig?
Z.z.: Sei [mm] $A\in [/mm] F$. A [mm] Nullmenge\gdw\mu(A)=0.
[/mm]
Beweis: [mm] "\Rightarrow": [/mm] Sei [mm] $A\in [/mm] F$ eine Nullmenge, also es existiert ein [mm] $B\in [/mm] F$ mit [mm] \mu(B)=0 [/mm] und [mm] $A\subseteq [/mm] B$. Mit der Monotonie des Maßes ist dann [mm] \mu(A)\le\mu(B)=0 [/mm] und mit wegen dem Bild von [mm] \mu, [/mm] also [mm] [0,\infty], [/mm] ist [mm] \mu(A)=0.
[/mm]
[mm] "\Leftarrow": [/mm] Sei [mm] $A\in [/mm] F$ mit [mm] \mu(A)=0. [/mm] Dann ist [mm] $A\subseteq [/mm] A$ und somit existiert ein [mm] $A\in [/mm] F$ mit [mm] \mu(A)=0 [/mm] und [mm] $A\subseteq [/mm] A$. Damit ist [mm] $A\in [/mm] N$ und somit eine Nullmenge.
Sooooo, ich hoffe, dass das in Ordnung ist. Danke noch einmal für deine Hilfe! :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:25 Mi 07.01.2015 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sorry, hat doch nicht so früh geklappt. ;)
Sieht ok aus, bis auf
>und damit ist A ein potenzieller Kandidat.
Hier meinst du sicher $B$, oder?
2.)
Uff, hier ist etwas durcheinander. Manchmal willst du zeigen, dass $X$ eine Nullmenge ist und manchmal, dass $A$ eine Nullmenge ist. Ich nenne die Menge, von der wir zeigen wollen, dass es eine Nullmenge ist, mal $X$, weil in der ersten Aufgabe die Mengen aus der Nullmengenmenge (was für ein Wort) schon $A$ heißen. Das ist psychologisch vielleicht etwas besser, als wenn wir von einer Menge $X$ in $N$ ausgehen und dann zeigen wollen, dass eine Menge $A$ in $N$ liegt. Und statt X' kannst du dann auch einfach wieder $B$ nehmen, die Bezeichnung ist auch etwas naheliegender aufgrund der ersten Aufgabe,
Sei also [mm] $A\in [/mm] N$ und [mm] $X\subseteq [/mm] A$. Z.z.: $X$ ist Nullmenge, d.h. es ex. ein [mm] $B\in [/mm] F$ mit $X [mm] \subseteq [/mm] B$ und [mm] \mu(B)=0. [/mm]
Das gilt auch, denn es existiert ein B mit [mm] $A\subseteq [/mm] B$ und [mm] $\mu(B)=0 \Rightarrow X\subseteq A\subseteq [/mm] B$ und [mm] $\mu(B)=0$. [/mm] Also ist X Nullmenge.
3.)
Ist perfekt so!
Kein Problem.:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:18 Do 08.01.2015 | | Autor: | James90 |
Hi Teufel und vielen Dank!
> Sorry, hat doch nicht so früh geklappt. ;)
Das ist doch kein Problem. ;)
> Sieht ok aus, bis auf
> >und damit ist A ein potenzieller Kandidat.
>
> Hier meinst du sicher [mm]B[/mm], oder?
Nein, eigentlich meine ich A. Die Vereinigung von A soll doch am Ende aus N sein.
> 2.)
> Uff, hier ist etwas durcheinander. Manchmal willst du
> zeigen, dass [mm]X[/mm] eine Nullmenge ist und manchmal, dass [mm]A[/mm] eine
> Nullmenge ist. Ich nenne die Menge, von der wir zeigen
> wollen, dass es eine Nullmenge ist, mal [mm]X[/mm], weil in der
> ersten Aufgabe die Mengen aus der Nullmengenmenge (was für
> ein Wort) schon [mm]A[/mm] heißen. Das ist psychologisch vielleicht
> etwas besser, als wenn wir von einer Menge [mm]X[/mm] in [mm]N[/mm] ausgehen
> und dann zeigen wollen, dass eine Menge [mm]A[/mm] in [mm]N[/mm] liegt. Und
> statt X' kannst du dann auch einfach wieder [mm]B[/mm] nehmen, die
> Bezeichnung ist auch etwas naheliegender aufgrund der
> ersten Aufgabe,
>
> Sei also [mm]A\in N[/mm] und [mm]X\subseteq A[/mm]. Z.z.: [mm]X[/mm] ist Nullmenge,
> d.h. es ex. ein [mm]B\in F[/mm] mit [mm]X \subseteq B[/mm] und [mm]\mu(B)=0.[/mm]
> Das gilt auch, denn es existiert ein B mit [mm]A\subseteq B[/mm] und
> [mm]\mu(B)=0 \Rightarrow X\subseteq A\subseteq B[/mm] und [mm]\mu(B)=0[/mm].
> Also ist X Nullmenge.
> 3.)
> Ist perfekt so!
>
> Kein Problem.:)
Thanks!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:44 Do 08.01.2015 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ah ok, also meintest du mit "potenzieller Kandidat", dass A potenzieller Kandidat ist, Nullmenge zu sein? Aber das war ja schon vorher klar, weil du das ja gerade zeigen solltest! :D Ich würde es weglassen, weil es irgendwie eher verwirrt, aber dennoch stimmt die Lösung dann.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:59 Do 08.01.2015 | | Autor: | James90 |
Guten Abend :)
> Ah ok, also meintest du mit "potenzieller Kandidat", dass A
> potenzieller Kandidat ist, Nullmenge zu sein? Aber das war
> ja schon vorher klar, weil du das ja gerade zeigen
> solltest! :D
Es gibt doch nur Nullmengen, die eine Teilmenge von Omega sind. Das sieht man auch an der Definition einer Nullmengen oder dem System der Nullmengen N. Es ist halt eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung, wenn ich das richtig verstanden habe. Da wir hier mit A die Vereinigung von Teilmengen von Omega identifizieren muss man doch begründen, dass auch diese Vereinigung in Omega liegt, oder sehe ich das falsch? Es kommen immerhin viele Kandidaten in Frage, aber die Eigenschaft danach macht eine Menge zur Nullmenge. Ist das zu trivial um es hinzuschreiben oder habe ich etwas nicht verstanden? :D Vielleicht sagt man auch in diesem Zusammenhang mathematisch etwas anderes dazu?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:33 Do 08.01.2015 | | Autor: | Teufel |
Na, das brauchst du nicht erwähnen. Wenn alle Mengen [mm] A_i [/mm] schon in [mm] \Omega [/mm] liegen, dann ist auch deren Vereinigung in [mm] \Omega. [/mm] Siehe auch Venn-Diagramm oder [mm] "$x\in\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \Rightarrow \exists i\in\IN: x\in A_i \Rightarrow x\in\Omega$"
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:34 Do 08.01.2015 | | Autor: | James90 |
> Na, das brauchst du nicht erwähnen. Wenn alle Mengen [mm]A_i[/mm]
> schon in [mm]\Omega[/mm] liegen, dann ist auch deren Vereinigung in
> [mm]\Omega.[/mm] Siehe auch Venn-Diagramm oder
> "[mm]x\in\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \Rightarrow \exists i\in\IN: x\in A_i \Rightarrow x\in\Omega[/mm]"
Danke, du hast natürlich Recht: Es ist zwar ein notwendiges Kriterium, aber nicht erwähnenswert. Vielen Dank für deine Hilfe Teufel :)
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