Nullfunktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 22.11.2010 | | Autor: | mathiko |
| Aufgabe | | Beweise: Jede stetige Funktion f: [mm] \IR^n [/mm] -> [mm] \IC [/mm] mit [mm] ||f||_1 [/mm] =0 ist die Nullfunktion. |
Hallo!
Bei obiger Aufgabe fehlt mir leider der richtige Ansatz.
Also [mm] ||f||_1 [/mm] ist die [mm] L^1-Halbnorm. [/mm] Die ist nach Definition ={ [mm] I(\phi) [/mm] | [mm] \phi= [/mm] Huellreihe zu f, [mm] I(\phi)= [/mm] Inhalt von [mm] \phi [/mm] }.
So rein formal ist es mir schon klar, dass bei unstetigen Funktionen die "Ausreiser" verhindern, dass f die Nullfunktion ist.
Hat jemand einen kleinen Denkanstoß für mich?
Das wäre superlieb!!!!!!!
Viele Grüße von mathiko
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Hallo,
nimm an, es gebe einen Punkt [mm] x_0 [/mm] mit [mm] f(x_0)\not=0. [/mm] Aus der Stetigkeit folgt dann, dass f in einer Umgebung ungleich Null ist. Was ist dann mit dem [mm] L^1 [/mm] -Maß?
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 22.11.2010 | | Autor: | mathiko |
Hallo Patrick!
Erstmal danke für deine schnelle Antwort.
Also das Maß ist ja [mm] \integral_{}^{}{1_A dx}=v(A).
[/mm]
Ich nenne die Umgebung von f jetzt mal A={ x [mm] \el \IR^n |f(x_0)\not=0 [/mm] }
Da [mm] f(x_0)\not=0 [/mm] ist,ist auch [mm] v(A)\not=0, [/mm] denn da ist ja [mm] x_0 [/mm] drin.
Soweit richtig?
Ich bin mir jetzt allerdings immernoch nicht sicher wies weiter geht...
Ich überlege, ob der Ansatz A in Teilumgebungen [mm] A_k [/mm] ={ x [mm] \el \IR^n [/mm] | [mm] |f(x_0)| \ge [/mm] 1/k } mir weiterhelfen kann. Allerdings bin ich mir nicht mal sicher, ob ich A überhaupt so zerlegen kann.
Geht das?
Grüße von mathiko
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Di 23.11.2010 | | Autor: | fred97 |
machs doch nicht so kompliziert !
Du hast:
(*) [mm] $\integral_{\IR}^{}{|f(x)| dx}= [/mm] 0$
mit einem stetigen f. Nun nimm mal an, es gäbe ein [mm] x_0 \in \IR [/mm] mit: [mm] $|f(x_0)|>0$. [/mm] Da f stetig ist, gibt es a, b [mm] \in \IR [/mm] mit:
a<b, [mm] x_0 \in [/mm] (a,b) und $|f(x) [mm] |\ge |f(x_0)|/2$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] [a,b]
Versuche daraus , einen Widerspruch zu (*) zu bekommen
FRED
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